数据结构中，提供针对某些特殊矩阵的压缩存储结构。

这里所说的特殊矩阵，主要分为以下两类：

含有大量相同数据元素的矩阵，比如对称矩阵；
含有大量 0 元素的矩阵，比如稀疏矩阵、上（下）三角矩阵；

针对以上两类矩阵，数据结构的压缩存储思想是：矩阵中的相同数据元素（包括元素 0）只存储一个。

对称矩阵

上图中的矩阵中，数据元素沿主对角线对应相等，这类矩阵称为对称矩阵。
矩阵中有两条对角线，其中上图中的对角线称为主对角线，另一条从左下角到右上角的对角线为副对角线。对称矩阵指的是各数据元素沿主对角线对称的矩阵。

结合数据结构压缩存储的思想，我们可以使用一维数组存储对称矩阵。由于矩阵中沿对角线两侧的数据相等，因此数组中只需存储对角线一侧（包含对角线）的数据即可。

对称矩阵的实现过程是，若存储下三角中的元素，只需将各元素所在的行标 i 和列标 j 代入下面的公式：

存储上三角的元素要将各元素的行标 i 和列标 j 代入另一个公式：

最终求得的 k 值即为该元素存储到数组中的位置（矩阵中元素的行标和列标都从 1 开始）。

例如，在数组 skr[6] 中存储上图中的对称矩阵，则矩阵的压缩存储状态如下图所示（存储上三角和下三角的结果相同）：

注意，以上两个公式既是用来存储矩阵中元素的，也用来从数组中提取矩阵相应位置的元素。例如，如果想从上图中的数组提取矩阵中位于 (3,1) 处的元素，由于该元素位于下三角，需用下三角公式获取元素在数组中的位置，即：

结合上图，数组下标为 3 的位置存储的是元素 3，与前面的图对应。

上（下）三角矩阵

如图所示，主对角线下的数据元素全部相同的矩阵为上三角矩阵，主对角线上元素全部相同的矩阵为下三角矩阵。

对于这类特殊的矩阵，压缩存储的方式是：上（下）三角矩阵采用对称矩阵的方式存储上（下）三角的数据（元素 0 不用存储）。

例如，压缩存储上图中的上三角矩阵，矩阵最终的存储状态同前面的图相同。因此可以得出这样一个结论，上(下)三角矩阵存储元素和提取元素的过程和对称矩阵相同。

稀疏矩阵

如图所示，如果矩阵中分布有大量的元素 0，即非 0 元素非常少，这类矩阵称为稀疏矩阵。

压缩存储稀疏矩阵的方法是：只存储矩阵中的非 0 元素，与前面的存储方法不同，稀疏矩阵非 0 元素的存储需同时存储该元素所在矩阵中的行标和列标。

例如，存储上图中的稀疏矩阵，需存储以下信息：

(1,1,1)：数据元素为 1，在矩阵中的位置为 (1,1)；
(3,3,1)：数据元素为 3，在矩阵中的位置为 (3,1)；
(5,2,3)：数据元素为 5，在矩阵中的位置为 (2,3)；
除此之外，还要存储矩阵的行数 3 和列数 3；

由此，可以成功存储一个稀疏矩阵。
注意，以上 3 种特殊矩阵的压缩存储，除了将数据元素存储起来，还要存储矩阵的行数值和列数值，具体的实现方式后续会介绍 3 种，本节仅需了解矩阵压缩存储的原理。

矩阵压缩存储的 3 种方式
对于以上 3 种特殊的...

课后习题

【2018年真题】设有一个12 ×12 的对称矩阵M ，将其上三角部分的元素m_i,j（ 1≤ i ≤ j ≤1）按行优先存入C语言的一维数组N 中，元素m_{6, 6} 在N 中的下标是。        
A . 50        B. 51        C. 55        D. 66

参考答案：A

【2017年真题】适用于压缩存储稀疏矩阵的两种存储结构是（）
A.三元组表和十字链表            B.三元组表和邻接矩阵
C.十字链表和二叉链表            D.邻接矩阵和十字链表

参考答案：A

【2016年真题】有一个100阶的三对角矩阵M，其原始m_i,j(1<=i<=100，1<=j<=100)按行优先次序压缩存入下标从0开始的一维数组N中。元素m30,30在N中的下标是（）
A.86        B.87        C.88        D.89

参考答案：B