关于图的几个概念定义：

• 连通图：在无向图中，若任意两个顶点vivi与vjvj都有路径相通，则称该无向图为连通图。
• 强连通图：在有向图中，若任意两个顶点vivi与vjvj都有路径相通，则称该有向图为强连通图。
• 连通网：在连通图中，若图的边具有一定的意义，每一条边都对应着一个数，称为权；权代表着连接连个顶点的代价，称这种连通图叫做连通网。
• 生成树：一个连通图的生成树是指一个连通子图，它含有图中全部n个顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。一颗有n个顶点的生成树有且仅有n-1条边，如果生成树中再添加一条边，则必定成环。
• 最小生成树：在连通网的所有生成树中，所有边的代价和最小的生成树，称为最小生成树。 

什么是最小生成树？

现在假设有一个很实际的问题：我们要在n个城市中建立一个通信网络，则连通这n个城市需要布置n-1一条通信线路，这个时候我们需要考虑如何在成本最低的情况下建立这个通信网？
于是我们就可以引入连通图来解决我们遇到的问题，n个城市就是图上的n个顶点，然后，边表示两个城市的通信线路，每条边上的权重就是我们搭建这条线路所需要的成本，所以现在我们有n个顶点的连通网可以建立不同的生成树，每一颗生成树都可以作为一个通信网，当我们构造这个连通网所花的成本最小时，搭建该连通网的生成树，就称为最小生成树。

构造最小生成树有很多算法，但是他们都是利用了最小生成树的同一种性质：MST性质（假设N=(V,{E})是一个连通网，U是顶点集V的一个非空子集，如果（u，v）是一条具有最小权值的边，其中u属于U，v属于V-U，则必定存在一颗包含边（u，v）的最小生成树），下面就介绍两种使用MST性质生成最小生成树的算法：普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。

下面介绍两种求最小生成树算法

1.Kruskal算法

此算法可以称为“加边法”，初始最小生成树边数为0，每迭代一次就选择一条满足条件的最小代价边，加入到最小生成树的边集合里。 

1. 把图中的所有边按代价从小到大排序； 
2. 把图中的n个顶点看成独立的n棵树组成的森林； 
3. 按权值从小到大选择边，所选的边连接的两个顶点ui,vi,应属于两颗不同的树，则成为最小生成树的一条边，并将这两颗树合并作为一颗树。 
4. 重复(3),直到所有顶点都在一颗树内或者有n-1条边为止。

参考代码

#include <bits/stdc++.h>  
using namespace std;  
  
const int maxn = 105;  
struct node {  
    int u, v, w;  
}edge[maxn * maxn];  
int cmp(node A, node B) {  
    return A.w < B.w;  
}  
int fa[maxn];  
int find(int x) {  
    if (x == fa[x]) return x;  
    fa[x] = find(fa[x]);  
    return fa[x];  
}  
int main(){  
    int N , M;  
    while(scanf("%d%d",&M,&...

课后习题

【2012年真题】下列关于最小生成树的叙述中，正确的是（）。 
Ⅰ．最小生成树的代价唯一 
Ⅱ．所有权值最小的边一定会出现在所有的最小生成树中2 
Ⅲ．使用普里姆（Prim）算法从不同顶点开始得到的最小生成树一定相同 
Ⅳ．使用普里姆算法和克鲁斯卡尔（Kruskal）算法得到的最小生成树总不相同 
A．仅Ⅰ 
B．仅Ⅱ 
C．仅Ⅰ、Ⅲ 
D．仅Ⅱ、Ⅳ 

参考答案：A
答案解析：考查最小生成树、及最小生成树算法的性质。 
对于 I，最小生成树的树形可能不唯一（这是因为可能存在权值相同的边），但是代价一定是唯一的，I 正确。对于 II，如果权值最小的边有多条并且构成环状，则总有权值最小的边将不出现在某棵最小生成树中，II 错误。对于 III，设 N 个结点构成环，N-1 条边权值相等，则从不同的顶点开始普里姆算法会得到 N-1 中不同的最小生成树，III 错误。对于 IV，当最小生成树唯一时（各边的权值不同），普里姆算法和克鲁斯卡尔算法得到的最小生成树相同，IV 错误。 

【2015年真题】求下面带权图的最小（代价）生成树时，可能是克鲁斯卡（Kruskal）算法第 2 次选中但不是普里姆（Prim）算法（从 V4 开始）第 2 次选中的边是（）。

A．(V1,V3)    B．(V1,V4)    C．(V2,V3)    D．(V3,V4)

参考答案：C

【2018年真题】拟建设一个光通信骨干网络连通BJ、CS、XA、QD、JN、NJ、TL和WH等8个城市，图中无向边上的权值表示两个城市间备选光缆的铺设费用。

请回答下列问题。
（1）仅从铺设费用角度出发，给出所有可能的最经济的光缆铺设方案（用带权图表示），并计算相应方案的总费用。
（2）题目图中可采用图的哪一种存储结构？给出求解问题（1）所使用的算法名称。
（3）假设每个城市采用一个路由器按（1）中得到的最经济方案组网，主机H1直接连接在TL的路由器书上，主机H2直接连接在BJ的路由器上。若H1向H2发送一个TTL=5的IP分组，则H2是否可以收到该IP分组？

参考答案：
（1）为了求解最经济的方案，可以把问题抽象为求无向带权图的最小生成树。可以采用手动prim算法或kruskal算法作图。注意本题最小生成树有两种构造，如下图所示。

方案的总费用为16.
（2）存储题中的图可以采用邻接矩阵（或邻接表）。构造最小生成树采用Prim算法（或Kruskal算法）。
（3）TTL=5，即IP分组的生存时间（最大传递距离）为5，方案1中TL和BJ距离过远，TTL=5不足以让IP分组从H1传送到H2，因此H2不能收到IP分组。而方案2中TL和BJ邻近，H2可以收到IP分组。

【2017年真题】使用Prim（普里姆）算法求带权连通图的最小（代价）生成树（MST）。请回答下列问题。
（1）对下列图G，从顶点A开始求G的MST，依次给出按算法选出的边。
（2）图G的MST是唯一的吗？

（3）对任意的带权连通图，满足什么条件时，其MST是唯一的？

参考答案：
（1）依次选出的边为：
（A，D），（D，E），（C，E），（B，C）
（2）图G的MST是唯一的。
（3）当带权连通图的任意一个环中所包含的边的权值均不相同时，其MST是唯一的。