二叉树
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定义

二叉树是n(n>=0)个结点的有限集合,该集合或者为空集(称为空二叉树),或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树组成。

下图展示了一棵普通二叉树:

 

二叉树特点
由二叉树定义以及图示分析得出二叉树有以下特点:

1)每个结点最多有两颗子树,所以二叉树中不存在度大于2的结点。
2)左子树和右子树是有顺序的,次序不能任意颠倒。
3)即使树中某结点只有一棵子树,也要区分它是左子树还是右子树。

 

二叉树性质

1)在二叉树的第i层上最多有2i-1 个节点 。(i>=1)

2)二叉树中如果深度为k,那么最多有2k-1个节点。(k>=1)

3)n0=n2+1 n0表示度数为0的节点数,n2表示度数为2的节点数。

4)在完全二叉树中,具有n个节点的完全二叉树的深度为[log2n]+1,其中[log2n]是向下取整。

5)若对含 n 个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行 1 至 n 的编号,则对完全二叉树中任意一个编号为 i 的结点有如下特性:

(1) 若 i=1,则该结点是二叉树的根,无双亲, 否则,编号为 [i/2] 的结点为其双亲结点;

(2) 若 2i>n,则该结点无左孩子, 否则,编号为 2i 的结点为其左孩子结点;

(3) 若 2i+1>n,则该结点无右孩子结点, 否则,编号为2i+1 的结点为其右孩子结点。

 

满二叉树
满二叉树:在一棵二叉树中。如果所有分支结点都存在左子树和右子树,并且所有叶子都在同一层上,这样的二叉树称为满二叉树。
满二叉树的特点有:

1)叶子只能出现在最下一层。出现在其它层就不可能达成平衡。
2)非叶子结点的度一定是2。
3)在同样深度的二叉树中,满二叉树的结点个数最多,叶子数最多。

 

 

完全二叉树

完全二叉树:对一颗具有n个结点的二叉树按层编号,如果编号为i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同,则这棵二叉树称为完全二叉树。


下图展示一棵完全二叉树

特点:

1)叶子结点只能出现在最下层和次下层。
2)最下层的叶子结点集中在树的左部。
3)倒数第二层若存在叶子结点,一定在右部连续位置。
4)如果结点度为1,则该结点只有左孩子,即没有右子树。
5)同样结点数目的二叉树,完全二叉树深度最小。

注:满二叉树一定是完全二叉树,但反过来不一定成立。

 


二叉树遍历

二叉树的遍历一个重点考查的知识点。

二叉树的遍历是指从二叉树的根结点出发,按照某种次序依次访问二叉树中的所有结点,使得每个结点被访问一次,且仅被访问一次。

二叉树的访问次序可以分为四种:

前序遍历
中序遍历
后序遍历
层序遍历

 

前序遍历

前序遍历通俗的说就是从二叉树的根结点出发,当第一次到达结点时就输出结点数据,按照先向左在向右的方向访问。

上图所示二叉树访问如下:

从根结点出发,则第一次到达结点A,故输出A;
继续向左访问,第一次访问结点B,故输出B;
按照同样规则,输出D,输出H;
当到达叶子结点H,返回到D,此时已经...

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课后作业

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