特殊矩阵的压缩存储
标签: 数据结构
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数据结构中,提供针对某些特殊矩阵的压缩存储结构。

 

这里所说的特殊矩阵,主要分为以下两类:

含有大量相同数据元素的矩阵,比如对称矩阵
含有大量 0 元素的矩阵,比如稀疏矩阵、上(下)三角矩阵

 

针对以上两类矩阵,数据结构的压缩存储思想是:矩阵中的相同数据元素(包括元素 0)只存储一个。

 


对称矩阵

上图中的矩阵中,数据元素沿主对角线对应相等,这类矩阵称为对称矩阵。
矩阵中有两条对角线,其中上图中的对角线称为主对角线,另一条从左下角到右上角的对角线为副对角线。对称矩阵指的是各数据元素沿主对角线对称的矩阵。

 

结合数据结构压缩存储的思想,我们可以使用一维数组存储对称矩阵。由于矩阵中沿对角线两侧的数据相等,因此数组中只需存储对角线一侧(包含对角线)的数据即可。

 

对称矩阵的实现过程是,若存储下三角中的元素,只需将各元素所在的行标 i 和列标 j 代入下面的公式:

存储上三角的元素要将各元素的行标 i 和列标 j 代入另一个公式:

最终求得的 k 值即为该元素存储到数组中的位置(矩阵中元素的行标和列标都从 1 开始)。

 

例如,在数组 skr[6] 中存储上图中的对称矩阵,则矩阵的压缩存储状态如下图所示(存储上三角和下三角的结果相同):

注意,以上两个公式既是用来存储矩阵中元素的,也用来从数组中提取矩阵相应位置的元素。例如,如果想从上图中的数组提取矩阵中位于 (3,1) 处的元素,由于该元素位于下三角,需用下三角公式获取元素在数组中的位置,即:

结合上图,数组下标为 3 的位置存储的是元素 3,与前面的图对应。

 

 

上(下)三角矩阵

如图所示,主对角线下的数据元素全部相同的矩阵为上三角矩阵,主对角线上元素全部相同的矩阵为下三角矩阵。

 

对于这类特殊的矩阵,压缩存储的方式是:上(下)三角矩阵采用对称矩阵的方式存储上(下)三角的数据(元素 0 不用存储)。

 

例如,压缩存储上图中的上三角矩阵,矩阵最终的存储状态同前面的图相同。因此可以得出这样一个结论,上(下)三角矩阵存储元素和提取元素的过程和对称矩阵相同。

 


稀疏矩阵

如图所示,如果矩阵中分布有大量的元素 0,即非 0 元素非常少,这类矩阵称为稀疏矩阵。

 

压缩存储稀疏矩阵的方法是:只存储矩阵中的非 0 元素,与前面的存储方法不同,稀疏矩阵非 0 元素的存储需同时存储该元素所在矩阵中的行标和列标。

 

例如,存储上图中的稀疏矩阵,需存储以下信息:

(1,1,1):数据元素为 1,在矩阵中的位置为 (1,1);
(3,3,1):数据元素为 3,在矩阵中的位置为 (3,1);
(5,2,3):数据元素为 5,在矩阵中的位置为 (2,3);
除此之外,还要存储矩阵的行数 3 和列数 3;

由此,可以成功存储一个稀疏矩阵。
注意,以上 3 种特殊矩阵的压缩存储,除了将数据元素存储起来,还要存储矩阵的行数值和列数值,具体的实现方式后续会介绍 3 种,本节仅需了解矩阵压缩存储的原理。

 

矩阵压缩存储的 3 种方式
对于以上 3 种特殊的...

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课后作业

课后习题

 

【2018年真题】设有一个12 ×12 的对称矩阵M ,将其上三角部分的元素mi,j( 1≤ i ≤ j ≤1)按行优先存入C语言的一维数组N 中,元素m6, 6 在N 中的下标是。        
A . 50        B. 51        C. 55        D. 66

参考答案:A

 

【2017年真题】适用于压缩存储稀疏矩阵的两种存储结构是()
A.三元组表和十字链表            B.三元组表和邻接矩阵
C.十字链表和二叉链表            D.邻接矩阵和十字链表

参考答案:A

 

【2016年真题】有一个100阶的三对角矩阵M,其原始mi,j(1<=i<=100,1<=j<=100)按行优先次序压缩存入下标从0开始的一维数组N中。元素m30,30在N中的下标是()
A.86        B.87        C.88        D.89

参考答案:B


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3 条上岸许愿
100
2021年7月21日 14:09

才弄懂三对角矩阵的意思,怪不得看视频一脸懵,寻思着3哪来的?哈哈……

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BlueSocks
2020年12月19日 17:31

【2016年真题】有一个100阶的对角矩阵M,其原始mi,j(1<=i<=100,1<=j<=100)按行优先次序压缩存入下标从0开始的一维数组N中。元素m30,30在N中的下标是()
A.86        B.87        C.88        D.89

题目少了个字 三队角矩阵 怪不得 看不懂

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Clarksvia
2020年5月19日 17:57

很好,什么时候能更新完哇

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