AOE网和AOV网
　　上一篇的拓扑排序中提到了AOV网（Activity On Vertex Network），与之相对应的是AOE网（Activity on edge network），即边表示活动的网。

　　AOV用顶点表示活动的网，描述活动之间的制约关系。

　　AOE是带权值的有向图，以顶点表示事件，以边表示活动，边上的权值表示活动的开销（如项目工期）。AOE 是建立在子过程之间的制约关系没有矛盾的基础之上，再来分析整个过程需要的开销。所以如果给定AOV网中各顶点活动所需要的时间，则可以转换为AOE网，较为简单的方法就是把每个顶点都拆分成两个顶点，分别表示活动的起点和终点

事件和活动
　　把上图转换成一般的AOE图如下

　　“活动”表示学习课程的过程，而“事件”表示的是一个时间点或者说一种状态（自己的理解），开始和完成活动是一个事件，比如：V4表示学完C语言。而这个事件同时也代表这前面的课程都已经学完了，可以开始学后面的课程了。

关键路径
　　AOE一般用来估算工程的完成时间。AOE表示工程的流程，把没有入边的称为始点或者源点，没有出边的顶点称为终点或者汇点。一般情况下，AOE只有一个源点一个汇点。但上面用的例图就不止一个，如果碰到这种情况，就可以再加一个“超级源（终）点”，连接所有入（出）度为0的点（不加也不会影响最后的答案）。

关键路径：从源点到汇点具有最长路径（强调：就是AOE网中权值和最大的路径），在关键路径上的活动叫关键活动。但为什么是最大长度呢？

　　关键路径是AOE网中的最长路径，也是整个工程的最短完成时间，如何理解此处的“最长”和“最短”呢？比如我们想要把“算法设计分析”学完，那么需要的时间就是max(A1,A2)+(A4)+(A7)=105days，那么这105days是最长路径，也是整个工程的最短完成时间，如果我们试图缩短学习的时间，那么缩短“C语言”课程的学习时间显然是没有用的。只有缩短关键路径上的关键活动时间才可以减少整个项目的时间。比如让“离散数学”的时间缩短为30days，则总时间就会减少为90days。

来看四个定义（活动是一个过程，用“开始”，事件是一个时间点，用“发生”）：

活动的最早开始时间 ETE(earliest time of edge)：所有前导活动都完成，可以开始的时间。

活动的最晚开始时间 LTE(latest time of edge)：不推迟工期的最晚开工时间。

事件的最早发生时间 ETV(earliest time of vertex)：可以等价理解为旧活动的最早结束时间 或 新活动的最早开始时间

事件的最晚发生时间 LTV(latest time of vertex)：可以等价理解为就活动的最晚结束时间 或 新活动的最晚开始时间

　　举例说明一下，“数据结构”课程的活动最早开始时间就是“离散数学”学完，45days。对于“C语言”课程来说，需要30days，而“离散数学”需要45days，那么&...

课后习题

【2019年真题】下图所示的AOE网表示一项包含8个活动的工程。活动d的最早开始时间和最迟开始时间分别是

A.3和7    B. 12和12    C. 12和14   D. 15和15

参考答案：C

【2013年真题】下列 AOE 网表示一项包含 8 个活动的工程。通过同时加快若干活动的进度可以缩短整个工程的工期。下列选项中，加快其进度就可以缩短工程工期的是（）

A.c 和 e         B. d 和 e         C. f 和 d         D. f 和 h 

参考答案：C
答案解析：根据 AOE 网的定义可知，关键路径上的活动时间同时减少，可以缩短工期。

【2011年真题】已知有 6 个顶点（顶点编号为 0～5）的有向带权图 G，其邻接矩阵 A 为上三角矩阵，按行为主序（行优先）保存在如下的一维数组中。 

要求： 
（1）写出图 G 的邻接矩阵 A。 
（2）画出有向带权图 G。 
（3）求图 G 的关键路径，并计算该关键路径的长度。 

解答： 
（1）图 G 的邻接矩阵 A 如下所示。 

（2）有向带权图 G 如下图所示。 

（3）关键路径为 01235（如下图所示粗线表示），长度为 4+5+4+3=16