【答案】D

【解析】A 错误，反例：

\( f(x) = \frac{\sin x^2}{x}, \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0 \)，但 \( \lim\limits_{x \to +\infty} f'(x) = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{2x^2 \cos x^2 - \sin x^2}{x^2} \)，极限不存在。

B 错误，反例：\( f(x) = \sqrt{x}, f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}, \lim\limits_{x \to +\infty} f'(x) = 0 \)，极限存在，但 \( \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) \) 极限不存在。

C 错误，反例：

\( f(x) = \cos x \)，则 \( \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\int_{0}^{x} f(t)dt}{x} = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\sin x}{x} \) 存在，但 \( \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \lim\limits_{x \to +\infty} \cos x \) 不存在。

D 正确，用 \( \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\int_{0}^{x} f(t)dt}{x} = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{1} = A \)，故选 D 。