解：由题意可知直线$\begin{cases}x = 0\\y = 0\end{cases}$，记为$l_1$；$\begin{cases}x = t\\y = t\\z = t\end{cases}$，记为$l_2$，则直线$l_1$绕直线$l_2$旋转所得曲面$\varSigma$为$(x - t)^2 + (y - t)^2 + (z - t)^2 = 3t^2$ 。已知$\varSigma_1$是$\varSigma$介于平面$x + y + z = 0$和平面$x + y + z = 1$之间的外侧，则补面$\varSigma_0:x + y + z = 1$，方向指向外侧。则$\varSigma_0$与$\varSigma_1$所围为封闭区域，则由高斯公式可知

$$I_1 = \oiint_{\Sigma_0 + \Sigma_1} xdydz + (y + 1)dzdx + (z + 2)dxdy$$

上面闭合曲面积分无法正常显示，见下图

$$= \iiint\limits_{\varOmega} (1 + 1 + 1)\mathrm{d}v = 3\iiint\limits_{\varOmega} \mathrm{d}v = 3\cdot \frac{1}{3}\pi \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{\sqrt{2}}{4}\pi$$（注：$\varOmega$为圆锥体）。

记$D_{xy}$为$\varSigma_0$在$xOy$面上的投影，$D_{xy} = \left\{(x, y)\vert 0\leqslant x + y\leqslant 1, x\geqslant 0, y\geqslant 0\right\}$

又$I_2 = \iint\limits_{\varSigma_0} x\mathrm{d}y\mathrm{d}z + (y + 1)\mathrm{d}z\mathrm{d}x + (z + 2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

$$= \iint\limits_{D_{xy}} x\mathrm{d}x\mathrm{d}y + (y + 1)\mathrm{d}x\mathrm{d}y + (3 - x - y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

$$= \iint\limits_{D_{xy}} 2\mathrm{d}x\mathrm{d}y = 2\cdot \frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1 = 1$$

故$I = I_1 - I_2 = \frac{\sqrt{2}}{4}\pi - 1$