[高等数学 P1053] 设单位质点\(P,Q\)分别位于点\((0,0)\)和\((0,1)\)处，\(P\)从点\((0,
设单位质点\(P,Q\)分别位于点\((0,0)\)和\((0,1)\)处，\(P\)从点\((0,0)\)出发沿\(x\)轴正向移动，记\(G\)为引力常量，则当质点\(P\)移动到点\((l,0)\)时，克服质点\(Q\)的引力所做的功为（ ）
A. \(\int_{0}^{l}\frac{G}{x^{2}+1}\mathrm{d}x\)
B. \(\int_{0}^{l}\frac{Gx}{(x^{2}+1)^{\frac{3}{2}}}\mathrm{d}x\)
C. \(\int_{0}^{l}\frac{G}{(x^{2}+1)^{\frac{3}{2}}}\mathrm{d}x\)
D. \(\int_{0}^{l}\frac{G(x + 1)}{(x^{2}+1)^{\frac{3}{2}}}\mathrm{d}x\)
【答案】A
【解...
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【答案】A
【解析】由题可知，其对应如图所示.
单位质点\(P\)与单位质点\(Q\)之间的引力为
\(F = G\frac{1\cdot1}{r^{2}}\)
其中\(r\)为两质点间的距离.
且由图可知 \(r^{2}=x^{2}+1\)
又引力\(F\)在\(x\)方向上的力投影为 \(F_{x}=F\cos\theta=\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}F\).
故克服引力做功为：
\(W = \int_{0}^{1}F_{x}\mathrm{d}x=\int_{0}^{1}\frac{G}{(x^{2}+1)}\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}\mathrm{d}x=\int_{0}^{1}\frac{Gx}{(1 + x^{2})^{\frac{3}{2}}}\mathrm{d}x\)
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