【解析】

\( \begin{cases}x = \ln(1 + 2t) ①\\2t - \int_{1}^{y + t^2} e^{-u^2} du = 0 ②\end{cases} \)

由②两边关于 \( t \) 求导，则 \( 2 - e^{-(y + t^2)^2} \cdot \left( \frac{dy}{dt} + 2t \right) = 0 \)。

当 \( t = 0 \) 时，\( y = 1 \)，\( 2 - e^{-1} \cdot \frac{dy}{dt} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dt} = 2e \)。

则 \( \frac{dy}{dx}\big|_{t = 0} = \frac{\frac{dy}{dt}\big|_{t = 0}}{\frac{dx}{dt}\big|_{t = 0}} = \frac{2e}{2} = e \) 。