设字符集 S 包含 7 个字符,各字符出现的频次分别是 1, 2, 3, 4, 6, 10, 11。 为 S 中的各字符构造哈夫曼编码,编码长度不小于 3 的字符个数是()
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
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为了求解字符集 S 中编码长度不小于 3 的字符个数,我们需要通过哈夫曼编码的构造过程确定各字符的编码长度。以下是详细步骤:
1. 哈夫曼树的构造过程
将字符按频次从小到大排序,每次选取频次最小的两个节点合并为新节点(新节点频次为两者之和),直至形成一棵完整的树。具体过程如下:
初始节点(频次):1,2,3,4,6,10,11
步骤 1:合并 1 和 2,生成新节点 3。 剩余节点:3,3,4,6,10,11
步骤 2:合并 3 和 3,生成新节点 6。 剩余节点:4,6,6,10,11
步骤 3:合并 4 和 6,生成新节点 10。 剩余节点:6,10,10,11
步骤 4:合并 6 和 10,生成新节点 16。 剩余节点:10,11,16
步骤 5:合并 10 和 11,生成新节点 21。 剩余节点:16,21
步骤 6:合并 16 和 21,生成根节点 37。
2. 确定各字符的编码长度
在哈夫曼树中,每个叶子节点的编码长度等于从根节点到该节点的路径长度(边数)。通过回溯构造过程,各原始字符的编码长度如下:
频次为 1 的字符: 合并路径:1→3→6→16→37,共经过 4 条边,编码长度为 4。
频次为 2 的字符: 合并路径与 1 相同(同属第一次合并的子树),编码长度为 4。
频次为 3 的字符: 第一次合并后为节点 3,后续路径:3→6→16→37,编码长度为 3。
频次为 4 的字符: 合并路径:4→10→16→37,编码长度为 3。
频次为 6 的字符:
若为原始节点 6(非合并生成的节点),路径:6→10→21→37,编码长度为 3。
频次为 10 的字符:
若为原始节点 10,路径:10→21→37,编码长度为 2。
频次为 11 的字符: 路径:11→21→37,编码长度为 2。
3. 统计编码长度不小于 3 的字符个数
编码长度为 4 的字符:1 和 2,共 2 个。
编码长度为 3 的字符:3、4、6,共 3 个。
编码长度为 2 的字符:10 和 11,共 2 个。
因此,编码长度不小于 3 的字符个数为 2+3=5。
答案 D. 5
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