【解析】\(a = 2\) 。

原式

 \(=\int_{1}^{+\infty}\frac{a}{x(2x + a)}dx=\ln x-\ln(2x + a)\big|_{1}^{+\infty}=\int_{1}^{+\infty}\frac{a}{x(2x + a)}dx=\ln x-\ln(2x + a)\big|_{1}^{+\infty}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\ln\frac{x}{2x + a}-\ln\frac{1}{2 + a}=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{x}{x + a}+\ln(2 + a)\)

\(\therefore\ln\frac{1}{2}+\ln(2 + a)=\ln2\)

\(\ln(2 + a)=2\ln2\Rightarrow a = 2\)