解：充分性：若对\((a,b)\)内任意的\(x_1,x_2,x_3\)，当\(x_1\lt x_2\lt x_3\)时，都有

\[

\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}\lt\frac{f(x_3) - f(x_2)}{x_3 - x_2}

\]

则在\((a,b)\)内取任意的\(x_1\lt x_2\lt x_3\lt x_4\lt x_5\)，有

\[

\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}\lt\frac{f(x_3) - f(x_2)}{x_3 - x_2}\lt\frac{f(x_4) - f(x_3)}{x_4 - x_3}\lt\frac{f(x_5) - f(x_4)}{x_5 - x_4}

\]

在\(\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}\lt\frac{f(x_3) - f(x_2)}{x_3 - x_2}\)两边同时令\(x_2 \to x_1^+\)，得

\[

f_+'(x_1)\leq\frac{f(x_3) - f(x_1)}{x_3 - x_1}

\]

两边同时令\(x_2 \to x_3^-\)，得\(\frac{f(x_3) - f(x_1)}{x_3 - x_1}\leq f_-'(x_3)\)，即

\[

f_+'(x_1)\leq\frac{f(x_3) - f(x_1)}{x_3 - x_1}\leq f_-'(x_3)

\]

同理可得\(f_+'(x_3)\leq\frac{f(x_3) - f(x_1)}{x_3 - x_1}\leq f_-'(x_5)\) .因为

\[

\frac{f(x_3) - f(x_1)}{x_3 - x_1}\lt\frac{f(x_5) - f(x_3)}{x_5 - x_3}

\]

所以\(f_+'(x_1)\leq f_-'(x_5)\) .由\(x_1,x_5\)的任意性，可得\(f'(x)\)在\((a,b)\)内严格单调递增，充分性得证。

再证必要性，即已知\(f'(x)\)单调递增，在\([x_1,x_2],[x_2,x_3]\)上分别使用拉格朗日中值定理，知存在\(\xi_1 \in (x_1,x_2),\xi_2 \in (x_2,x_3)\)，使

\[

f'(\xi_1)=\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}, \quad f'(\xi_2)=\frac{f(x_3) - f(x_2)}{x_3 - x_2}

\]

又由\(f'(x)\)单调递增，且\(\xi_1\lt\xi_2\)知，\(f'(\xi_1)\lt f'(\xi_2)\)，即

\[

\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}\lt\frac{f(x_3) - f(x_2)}{x_3 - x_2}

\]

必要性得证。

综上所述，充要条件得证。