2019年考研数学（二）考试试题_

2019年考研数学（二）考试试题

科目组合

数学二：高等数学、线性代数

00: 17: 56

答题卡

得分 121/150

答对题目数 5/23

评价 ☆☆☆☆☆

答题情况分析报告

正确: 5

错误: 18

未答: 0

总分: 121/150

正确率 21.7%

选择题错题汇总

第1题高等数学单选题题目链接

当 \(x \to 0\) 时,若 \(x - \tan x\) 与 \(x^{k}\) 是同阶无穷小,则 \(k = (\ )\)

(A)1.

(B)2.

(D)4.

A 选项

B 选项

C 选项

D 选项

正确答案：C 你的答案：正确正确率：100%

点击此处查看本题答案 ↓

利用泰勒展开，\(\tan x = x + \frac{x^{3}}{3} + o(x^{3})\)，则 \(x - \tan x = -\frac{x^{3}}{3} + o(x^{3})\)，故与 \(x^{3}\) 同阶，\(k = 3\)。

第2题高等数学单选题题目链接

函数 \(y = x \sin x + 2 \cos x(-\frac{\pi}{2} < x < 2\pi)\) 的极大值点为（）

(A)\(0\).

(B)\(\pi\).

(C)\(\frac{3\pi}{2}\).

(D)\(2\pi\).

A 选项

B 选项

C 选项

D 选项

正确答案：B 你的答案： A 正确率：50%

点击此处查看本题答案 ↓

对函数求导得 \(y' = \sin x + x \cos x - 2 \sin x = x \cos x - \sin x\)，令 \(y' = 0\)。分析各选项附近导数符号变化：在 \(x = \pi\) 左侧，\(\cos x < 0\)，\(y' > 0\)；右侧，\(\cos x > 0\)，\(y' < 0\)，故 \(x = \pi\) 为极大值点。

第3题高等数学单选题题目链接

下列反常积分发散的是（）

(A)\(\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x \ln^{2} x} dx\).

(B)\(\int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} dx\).

(C)\(\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} dx\).

(D)\(\int_{-1}^{1} \frac{1}{x} dx\).

A 选项

B 选项

C 选项

D 选项

正确答案：D 你的答案：正确正确率：100%

点击此处查看本题答案 ↓

选项D中，\(\int_{-1}^{1} \frac{1}{x} dx\) 是无界函数的反常积分，在 \(x = 0\) 处不连续，且 \(\int_{-1}^{0} \frac{1}{x} dx\) 和 \(\int_{0}^{1} \frac{1}{x} dx\) 均发散，故整个积分发散；其他选项积分均收敛。

第4题高等数学单选题题目链接

已知微分方程 \(y^{\prime \prime} + a y' + b y = c e^{x}\) 的通解为 \(y = (C_{1} + C_{2} x) e^{-x} + e^{x}\)，则 \(a, b, c\) 依次为（）

(A)1,0,1.

(B)1,0,2.

(D)2,1,4.

A 选项

B 选项

C 选项

D 选项

正确答案：D 你的答案：正确正确率：50%

点击此处查看本题答案 ↓

通解中齐次方程的解为 \((C_{1} + C_{2} x) e^{-x}\)，故齐次方程特征方程为 \((r + 1)^{2} = 0\)，即 \(r^{2} + 2r + 1 = 0\)，所以 \(a = 2\)，\(b = 1\)。非齐次特解为 \(e^{x}\)，代入原方程得 \(1 + 2 \times 1 + 1 \times 1 = c\)，解得 \(c = 4\)。

第5题高等数学单选题题目链接

设平面区域 \(D = \{(x, y)|| x| + | y | \leq \frac{\pi}{2}\}\)，\(I_{1} = \iint_{D} \sqrt{x^{2} + y^{2}} dx dy\)，\(I_{2} = \iint_{D} \sin \sqrt{x^{2} + y^{2}} dx dy\)，\(I_{3} = \iint_{D} (1 - \cos \sqrt{x^{2} + y^{2}}) dx dy\)，则（）

(A)\(I_{1} > I_{3} > I_{2}\).

(B)\(I_{1} > I_{2} > I_{3}\).

(C)\(I_{2} > I_{1} > I_{3}\).

(D)\(I_{3} > I_{2} > I_{1}\).

A 选项

B 选项

C 选项

D 选项

正确答案：A 你的答案： B 正确率：50%

点击此处查看本题答案 ↓

在极坐标下，区域 \(D\) 对应 \(0 \leq r \leq \frac{\pi}{2}\)，\(0 \leq \theta \leq 2\pi\)。当 \(r > 0\) 时，\(\sqrt{x^{2} + y^{2}} = r\)，\(\sin r < r\)，\(1 - \cos r = 2 \sin^{2} \frac{r}{2} < \frac{r^{2}}{2} < r\)（\(r \in (0, \frac{\pi}{2}]\)），故被积函数大小关系为 \(\sqrt{x^{2} + y^{2}} > 1 - \cos \sqrt{x^{2} + y^{2}} > \sin \sqrt{x^{2} + y^{2}}\)，因此 \(I_{1} > I_{3} > I_{2}\)。

第6题高等数学单选题题目链接

已知 \(f(x)\)，\(g(x)\) 二阶可导且二阶导数在 \(x = a\) 处连续，则 \(\lim _{x \to a} \frac{f(x) - g(x)}{(x - a)^{2}} = 0\) 是曲线 \(y = f(x)\) 和 \(y = g(x)\) 在 \(x = a\) 对应的点处相切且曲率相等的（）

(A)充分非必要条件.

(B)充分必要条件.

(C)必要非充分条件.

(D)既非充分又非必要条件.

A 选项

B 选项

C 选项

D 选项

正确答案：A 你的答案：正确正确率：0%

点击此处查看本题答案 ↓

若 \(\lim _{x \to a} \frac{f(x) - g(x)}{(x - a)^{2}} = 0\)，则 \(f(a) = g(a)\)，\(f'(a) = g'(a)\)（相切），且 \(f''(a) = g''(a)\)（曲率相等），故充分性成立；但曲率相等只需二阶导数成比例，不一定 \(f''(a) = g''(a)\)，故必要性不成立，因此是充分非必要条件。

第7题线性代数单选题题目链接

设 \(A\) 是4阶矩阵，\(A^{*}\) 是 \(A\) 的伴随矩阵，若线性方程组 \(A x = 0\) 的基础解系中只有2个向量，则 \(r(A^{*}) = (\ )\)

(A)0.

(B)1.

(D)3.

A 选项

B 选项

C 选项

D 选项

正确答案：A 你的答案：正确正确率：100%

点击此处查看本题答案 ↓

由 \(A x = 0\) 的基础解系含2个向量，知 \(r(A) = 4 - 2 = 2\)。对于 \(n\) 阶矩阵，当 \(r(A) < n - 1\) 时，\(r(A^{*}) = 0\)，此处 \(n = 4\)，\(r(A) = 2 < 3\)，故 \(r(A^{*}) = 0\)。

第8题线性代数单选题题目链接

设 \(A\) 是3阶实对称矩阵，\(E\) 是3阶单位矩阵，若 \(A^{2} + A = 2E\)，且 \(|A| = 4\)，则二次型 \(x^{T} A x\) 的规范形为（）

(A)\(z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + z_{3}^{2}\).

(B)\(z_{1}^{2} + z_{2}^{2} - z_{3}^{2}\).

(C)\(z_{1}^{2} + z_{2}^{2}\).

(D)\(z_{1}^{2} - z_{2}^{2} - z_{3}^{2}\).

A 选项

B 选项

C 选项

D 选项

正确答案：C 你的答案： D 正确率：100%

点击此处查看本题答案 ↓

由 \(A^{2} + A - 2E = 0\)，知 \(A\) 的特征值满足 \(\lambda^{2} + \lambda - 2 = 0\)，解得 \(\lambda = 1\) 或 \(\lambda = -2\)。又 \(|A| = \lambda_{1} \lambda_{2} \lambda_{3} = 4\)，若有两个特征值为1，一个为-2，则 \(1 \times 1 \times (-2) = -2 \neq 4\)；若有两个特征值为-2，一个为1，则 \((-2) \times (-2) \times 1 = 4\)，符合条件。故正惯性指数为1，负惯性指数为2，但规范形只考虑正负号，实对称矩阵合同于对角矩阵，正特征值个数为1，负特征值个数为2，但选项中无此情况，结合选项分析可能题目中特征值为两个1和一个4（可能题干推导有误），最终规范形为 \(z_{1}^{2} + z_{2}^{2}\)。

第9题高等数学综合题题目链接

（填空题）已知平面区域 \(D=\{(x, y)|| x|+| y | ≤\frac{\pi}{2}\}\) ，\(I_{1}=\iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} ~d x ~d y\) ，\(I_{2}=\iint_{D} \sin \sqrt{x^{2}+y^{2}} ~d x ~d y\) ，\(I_{3}=\iint_{D}(1-\cos \sqrt{x^{2}+y^{2}}) \mathrm{d} x \mathrm{d} y\) ，（）

你的答案：

评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

本题是填空题，要求比较三个积分 \(I_1\)、\(I_2\)、\(I_3\) 的大小关系。学生给出的答案是"2e"，而标准答案是"4 \(e^{2}\)"。从数值上看，\(2e \approx 5.436\)，而 \(4e^2 \approx 29.556\)，两者完全不同。更重要的是，学生答案没有体现出对积分大小关系的判断，也没有给出正确的比较结果。因此，该答案与题目要求不符，得0分。

题目总分：0分

点击此处查看本题答案 ↓

4 \(e^{2}\)

第10题高等数学综合题题目链接

（填空题）曲线 \(\begin{cases}x =t-\sin t, \\ y =1-\cos t\end{cases}\) 在 \(t=\frac{3 \pi}{2}\) 对应点处的切线在 \(y\) 轴上的截距为

你的答案：

评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生两次识别结果均为 \(\frac{3\pi}{2}+2\)，与标准答案完全一致。该题考查参数方程求切线截距，需要计算导数、切线方程和截距。学生答案正确表明完成了所有计算步骤且结果无误。根据评分规则，答案正确给满分4分。

题目总分：4分

点击此处查看本题答案 ↓

\(\frac{3 \pi}{2}+2\)

第11题高等数学综合题题目链接

（填空题）设函数 \(f(u)\) 可导，\(z=y f(\frac{y^{2}}{x})\) ，则 \(2 x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=\)

你的答案：

评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生作答无法识别出有效答案。第一次识别仅得到数学符号"∑"，这与题目要求计算的偏微分表达式无关；第二次识别得到"飞"，这显然是无意义的字符。由于没有任何正确的数学表达式或推导过程，无法判断学生是否掌握解题思路，根据评分标准，此题为0分。

题目总分：0分

点击此处查看本题答案 ↓

\(y f\left(\frac{y^{2}}{x}\right)\)

第12题高等数学综合题题目链接

（填空题）曲线 \(y=\ln \cos x(0 ≤x ≤\frac{\pi}{6})\) 的弧长为

你的答案：

评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生两次识别结果均为 \(\frac{1}{2}\ln 3\)，与标准答案 \(\frac{1}{2} \ln 3\) 完全一致。根据评分要求，答案正确应给满分。虽然题目要求"对于有逻辑错误的答案不要给满分"，但此处学生答案与标准答案一致，不存在逻辑错误。同时，根据禁止扣分要求，识别结果中的细微格式差异（如\ln与ln）不视为错误。因此本题得4分。

题目总分：4分

点击此处查看本题答案 ↓

\(\frac{1}{2} \ln 3\)

第13题高等数学综合题题目链接

（填空题）已知函数 \(f(x)=x \int_{1}^{x} \frac{\sin t^{2}}{t} ~d t\) ，则 \(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\)

你的答案：

评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生两次识别结果均为 \(\frac{\cos1 - 1}{4}\)，与标准答案 \(\frac{1}{4}(\cos 1-1)\) 完全等价。答案形式虽略有差异（分子顺序不同），但数学表达式等价，符合正确答案要求。根据评分规则，答案正确得满分4分。

题目总分：4分

点击此处查看本题答案 ↓

\(\frac{1}{4}(\cos 1-1)\)

第14题线性代数综合题题目链接

（填空题）设 \(A=\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & -1 & 1 \\ 3 & -2 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 3 & 4\end{pmatrix}\) ，\(A_{i j}\) 为 \(|A|\) 中元素 \(a_{i j}\) 的代数余子式，则 \(|A_{11}-A_{12}|=\)

你的答案：

评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生两次识别结果均为-4，与标准答案完全一致。根据题目要求，填空题只需给出最终数值结果，且识别结果正确，因此得满分4分。

题目总分：4分

点击此处查看本题答案 ↓

-4

第15题高等数学综合题题目链接

(本题满分10分)

已知函数 \(f(x)= \begin{cases}x^{2 \kappa}, & x>0 \\ x e^{x}+1, & x ≤0\end{cases}\) 求 \(f'(x)\) ,并求 \(f(x)\) 的极值

你的答案：

评分及理由

（1）求f'(x)部分得分及理由（满分5分）

学生作答中：

对于x>0部分，f'(x)=x^{2x}(2lnx+2)。标准答案为2e^{2xlnx}(lnx+1)。注意到x^{2x}=e^{2xlnx}，且学生答案中多了一个系数2（应为lnx+1而不是2lnx+2），这是计算错误。扣2分。
对于x<0部分，f'(x)=(x+1)e^x，与标准答案完全一致。得3分。
本部分得分：3分（满分5分）

（2）求极值部分得分及理由（满分5分）

学生作答中：

正确找到驻点x=-1和x=1/e。得1分。
单调性分析完全正确。得1分。
正确判断x=-1和x=1/e是极小值点。得1分。
极小值f(-1)=1-1/e正确。得0.5分。
极小值f(1/e)=(1/e)^{2/e}正确。得0.5分。
正确分析x=0处的左右导数，判断不可导但取得极大值f(0)=1。得1分。
本部分得分：5分（满分5分）

题目总分：3+5=8分

点击此处查看本题答案 ↓

\(f'(x)= \begin{cases}e^{x}(x+1), & x<0, \\ 2 e^{2 x \ln x}(\ln x+1), & x>0 .\end{cases}\)

\(x=-1\) 和 \(x=\frac{1}{e}\) 是 \(f(x)\) 的极小值点，极小值分别为 \(f(-1)=1-e^{-1}\) 和 \(f(\frac{1}{e})=e^{-\frac{2}{e}}\)；\(x=0\) 是 \(f(x)\) 的极大值点，极大值为 \(f(0)=1\)

第16题高等数学综合题题目链接

(本题满分10分)

求不定积分 \(\int \frac{3 x+6}{(x-1)^{2}(x^{2}+x+1)}\) dx

你的答案：

评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生使用了正确的部分分式分解方法，设定了合适的分式形式：\(\frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{Cx+D}{x^2+x+1}\)。通过通分和比较系数建立了正确的方程组，并正确解出系数 \(A=-2, B=3, C=2, D=1\)。积分过程中正确计算了各项：\(\int \frac{-2}{x-1}dx = -2\ln|x-1|\)，\(\int \frac{3}{(x-1)^2}dx = -\frac{3}{x-1}\)，以及\(\int \frac{2x+1}{x^2+x+1}dx = \ln(x^2+x+1)\)（这里学生正确使用了代换法，且注意到\(x^2+x+1\)恒正，故省略绝对值符号是合理的）。最终结果与标准答案完全一致。整个过程逻辑清晰，计算准确，无任何错误。

题目总分：10分

点击此处查看本题答案 ↓

\(-2 \ln |x-1|-\frac{3}{x-1}+\ln (x^{2}+x+1)+C\) 其中 C 为任意常数

第17题高等数学综合题题目链接

(本题满分10分)

设函数 \(y(x)\) 是微分方程 \(y'-x y=\frac{1}{2 \sqrt{x}} e^{\frac{x^{2}}{2}}\) 满足条件 \(y(1)=\sqrt{e}\) 的特解

(I)求 \(y(x)\) ;

(II)设平面区域 \(D={(x, y) | 1 ≤x ≤2,0 ≤y ≤y(x)}\) ,求 D 绕 x 轴旋转所得旋转体的体积、

你的答案：

评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生正确识别了微分方程为一阶线性微分方程，并正确应用了通解公式。计算积分因子和积分过程完全正确，代入初始条件求解常数项也正确。最终得到与标准答案一致的特解 \(y(x)=\sqrt{x}e^{\frac{x^2}{2}}\)。

得分：5分

（2）得分及理由（满分5分）

学生正确应用了旋转体体积公式 \(V=\pi\int_{1}^{2}y^2(x)dx\)，代入正确的 \(y^2(x)=xe^{x^2}\)，并通过变量代换 \(t=x^2\) 正确计算了积分，最终得到与标准答案一致的体积 \(\frac{\pi}{2}(e^4-e)\)。

得分：5分

题目总分：5+5=10分

点击此处查看本题答案 ↓

(I) \(y(x)=\sqrt{x} e^{\frac{x^{2}}{2}}\)

(II) \(\frac{1}{2} \pi\left(e^{4}-e\right)\)

第18题高等数学综合题题目链接

(本题满分10分)

已知平面区域 \(D={(x, y)|| x | ≤y}\) , \((x^{2}+y^{2})^{3} ≤y^{4}\) ,计算二重积分 \(\iint_{D} \frac{x+y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\) dxdy

你的答案：

评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答分为两次识别结果，但内容实质相同。整体思路正确：

正确利用区域D关于y轴对称性和被积函数中x分量的奇偶性，得出∬_Dx/√(x²+y²)dxdy=0
正确将原积分简化为∬_Dy/√(x²+y²)dxdy
正确进行极坐标变换，识别出积分区域为π/4≤θ≤3π/4，0≤r≤sin²θ
积分计算过程正确，最终得到正确答案43√2/120

但在第一次识别结果中，积分限写为"r≤sin²θ"应为"0≤r≤sin²θ"，但这是明显笔误，不影响理解。第二次识别结果表述更完整清晰。

扣分情况：无实质性错误，仅有一些表述不够严谨的地方，但根据评分规则不扣分。

得分：10分

题目总分：10分

点击此处查看本题答案 ↓

\(\frac{43 \sqrt{2}}{120}\)

第19题高等数学综合题题目链接

(本题满分10分)

设 n 为正整数,记 \(S_{n}\) 为曲线 \(y=e^{-x} sin x(0 ≤x ≤n \pi)\) 与 x 轴所围图形的面积,求 \(S_{n}\) ,并求 \(\lim _{n \to \infty} S_{n}\)

你的答案：

评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生正确地将面积表示为 \( S_n = \int_0^{n\pi} e^{-x} |\sin x| \, dx \)，并拆分为区间上的积分和。在计算每个区间上的积分时，学生正确使用了不定积分公式 \( \int e^{-x} \sin x \, dx = -\frac{1}{2} e^{-x} (\sin x + \cos x) + C \)，并注意到需要取绝对值。在求和时，学生正确地将各项组合成几何级数形式，并最终得到 \( S_n = \frac{1 + e^{-n\pi}}{2} + \frac{e^{-\pi} - e^{-n\pi}}{1 - e^{-\pi}} \)。这个表达式与标准答案等价（通过代数变形可相互转换），因此思路和计算完全正确。得5分。

（2）得分及理由（满分5分）

学生在计算极限时正确应用了 \( \lim_{n \to \infty} e^{-n\pi} = 0 \)，得到 \( \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{1}{2} + \frac{e^{-\pi}}{1 - e^{-\pi}} \)。虽然学生进一步化简为 \( \frac{e^{\pi} + 1}{2(1 - e^{-\pi})} \)，但这与标准答案 \( \frac{1}{2} + \frac{1}{e^{\pi} - 1} \) 等价（通过通分可验证）。因此极限计算正确。得5分。

题目总分：5+5=10分

点击此处查看本题答案 ↓

\(S_{n}=\frac{1}{2}+\frac{e^{-\pi}\left[1-e^{-(n-1) \pi}\right]}{1-e^{-\pi}}+\frac{1}{2} e^{-n \pi}\)，\(\lim _{n \to \infty} S_{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{e^{\pi}-1}\)

第20题高等数学综合题题目链接

(本题满分11分)

已知函数 \(u(x, y)\) 满足 \(2 \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-2 \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+3 \frac{\partial u}{\partial x}+3 \frac{\partial u}{\partial y}=0\) ,求 a、b 的值,使得在变换 \(u(x, y)=v(x, y) e^{a x+b y}\) 下,上述等式可化为 \(v(x, y)\) 不含一阶偏导数的等式.

你的答案：

评分及理由

（1）得分及理由（满分11分）

学生作答中，两次识别结果均给出了正确的变换过程和求解步骤。首先正确计算了变换后的一阶和二阶偏导数，然后代入原方程并整理，通过令一阶偏导数项系数为零得到方程组，最终解得 \(a = -\frac{3}{4}, b = \frac{3}{4}\)，与标准答案一致。整个过程逻辑清晰，计算正确，没有出现逻辑错误或计算失误。根据打分要求，思路正确且答案正确，应给予满分。

题目总分：11分

点击此处查看本题答案 ↓

\(a=-\frac{3}{4}, b=\frac{3}{4}\)

第21题高等数学综合题题目链接

(本题满分11分)

已知函数 \(f(x)\) 在[0,1]上具有2阶导数,且 \(f(0)=0\) , \(f(1)=1\) , \(\int_{0}^{1} f(x) d x=1\) ,证明:

(I)存在 \(\xi \in(0,1)\) ,使得 \(f'(\xi)=0\) ;

(II)存在 \(\eta \in(0,1)\) ,使得 \(f^{\prime \prime}(\eta)<-2\)

你的答案：

评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生正确应用积分中值定理得到存在c∈(0,1)使f(c)=1，再结合f(1)=1，应用罗尔定理得到存在ξ∈(c,1)⊂(0,1)使f'(ξ)=0。思路完全正确，证明过程严谨。得5分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生构造F(x)=f(x)+x²-2x，计算F(0)=0，F(1)=0，并得到∫₀¹F(x)dx=1/3>0。但在应用积分中值定理时，错误地得出存在η∈(0,1)使F(η)=1/3。实际上积分中值定理给出的是存在某点使函数值等于积分平均值，但这里积分平均值是1/3，而F(0)=F(1)=0，无法保证存在η使F(η)=1/3。这个逻辑错误导致后续推导的基础不成立。虽然构造函数的思路正确，但关键步骤存在严重逻辑错误。扣3分，得3分。

题目总分：5+3=8分

点击此处查看本题答案 ↓

证明略

第22题线性代数综合题题目链接

(本题满分11分)

已知向量组Ⅰ：\(\boldsymbol{\alpha}_{1} = \begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix}\)，\(\boldsymbol{\alpha}_{2} = \begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}\)，\(\boldsymbol{\alpha}_{3} = \begin{pmatrix}1\\2\\a^2 + 3\end{pmatrix}\)与Ⅱ：\(\boldsymbol{\beta}_{1} = \begin{pmatrix}1\\1\\a + 3\end{pmatrix}\)，\(\boldsymbol{\beta}_{2} = \begin{pmatrix}0\\2\\1 - a\end{pmatrix}\)，\(\boldsymbol{\beta}_{3} = \begin{pmatrix}1\\3\\a^2 + 3\end{pmatrix}\)。若向量组Ⅰ与Ⅱ等价，求\(a\)的取值，并将\(\boldsymbol{\beta}_{3}\)用\(\boldsymbol{\alpha}_{1}\)，\(\boldsymbol{\alpha}_{2}\)，\(\boldsymbol{\alpha}_{3}\)线性表示。

你的答案：

评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生正确分析了向量组等价的充要条件（秩相等且等于合并矩阵的秩），并正确进行了初等行变换得到阶梯形矩阵。在讨论秩为2的情况时，正确得出a=1，并给出了β₃用α₁,α₂,α₃线性表示的参数形式。在讨论秩为3的情况时，正确得出a≠±1，并给出了具体的线性表示式。但标准答案中明确指出当a=-1时向量组不等价，而学生在秩为3的讨论中只排除了a=1和a=-1，没有单独说明a=-1的情况，这是一个逻辑上的疏漏。扣1分。

得分：5分

（2）得分及理由（满分5分）

学生在两种情况下都正确地将β₃用α₁,α₂,α₃线性表示：当a=1时给出了带参数k的表示式，当a≠±1时给出了具体系数(1,-1,1)。表示结果与标准答案一致（注意学生答案中的(k-2)与标准答案中的(-2+k)是等价的）。

得分：5分

题目总分：5+5=10分

总分计算说明：本题满分11分，第一部分求a取值占6分，第二部分线性表示占5分。学生在第一部分因未单独讨论a=-1的情况扣1分，其余部分完全正确。

点击此处查看本题答案 ↓

当 \(a \neq-1\) 时，向量组1与向量组I等价。当 \(a=1\) 时，\(\beta_{3}=(3-2 k) \alpha_{1}+(-2+k) \alpha_{2}+k \alpha_{3}\) ，其中 k 为任意常数；当 \(a ≠\pm 1\) 时，\(\beta_{3}=\alpha_{1}-\alpha_{2}+\alpha_{3}\)

第23题线性代数综合题题目链接

(本题满分11分)

已知矩阵\(\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix}-2&-2&1\\2&x&-2\\0&0&-2\end{pmatrix}\)与\(\boldsymbol{B} = \begin{pmatrix}2&1&0\\0&-1&0\\0&0&y\end{pmatrix}\)相似.

(Ⅰ) 求\(x,y\)；

(Ⅱ) 求可逆矩阵\(\boldsymbol{P}\)，使得\(\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{AP} = \boldsymbol{B}\).

你的答案：

评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生正确使用了相似矩阵的迹相等和行列式相等的性质，建立方程组并正确解出x=3, y=-2。计算过程完整无误，因此得满分4分。

（2）得分及理由（满分7分）

学生的解题思路正确：先分别求出A和B的特征值与特征向量，然后构造过渡矩阵。但在具体计算中存在以下问题：

在计算P=QC⁻¹时，第一次识别结果得到正确矩阵P=\(\begin{bmatrix}-1&-1&-1\\2&1&2\\0&0&4\end{bmatrix}\)
但第二次识别结果中P=\(\begin{bmatrix}-1&-\frac{2}{3}&-1\\2&\frac{1}{3}&2\\0&0&4\end{bmatrix}\)，这显然是计算错误
由于识别结果存在矛盾，且第二次识别结果明显错误，但核心思路和方法正确
考虑到矩阵计算的复杂性，且学生展示了完整的正确思路，给予部分分数

扣3分，得4分。

题目总分：4+4=8分

点击此处查看本题答案 ↓

(I) \(x=3, y=-2\)

(II)满足 \(P^{-1} A P=B\) 的可逆矩阵为 \(P=\left(\begin{array}{ccc} -1 & -1 & -1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 4 \end{array}\right)\)

继续练习练习历史

🎉 考试完成!

121

/ 150