2019年考研数学（二）考试试题_

2019年考研数学（二）考试试题

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科目组合

数学二：高等数学、线性代数

00: 04: 02

答题卡

得分 114/150

答对题目数 7/23

评价 ☆☆☆☆☆

答题情况分析报告

正确: 7

错误: 16

未答: 0

总分: 114/150

正确率 30.4%

选择题错题汇总

第1题高等数学2 单选题题目链接

当 $x \to 0$ 时,若 $x - \tan x$ 与 $x^{k}$ 是同阶无穷小,则 $k = (\ )$

(A)1.

(B)2.

(D)4.

A 选项

B 选项

C 选项

D 选项

正确答案：C 你的答案：正确正确率：91%

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利用泰勒展开，$\tan x = x + \frac{x^{3}}{3} + o(x^{3})$，则 $x - \tan x = -\frac{x^{3}}{3} + o(x^{3})$，故与 $x^{3}$ 同阶，$k = 3$。

第2题高等数学2 单选题题目链接

函数 $y = x \sin x + 2 \cos x(-\frac{\pi}{2} < x < 2\pi)$ 的极大值点为（）

(A)$0$.

(B)$\pi$.

(C)$\frac{3\pi}{2}$.

(D)$2\pi$.

A 选项

B 选项

C 选项

D 选项

正确答案：B 你的答案：正确正确率：56%

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对函数求导得 $y' = \sin x + x \cos x - 2 \sin x = x \cos x - \sin x$，令 $y' = 0$。分析各选项附近导数符号变化：在 $x = \pi$ 左侧，$\cos x < 0$，$y' > 0$；右侧，$\cos x > 0$，$y' < 0$，故 $x = \pi$ 为极大值点。

第3题高等数学2 单选题题目链接

下列反常积分发散的是（）

(A)$\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x \ln^{2} x} dx$.

(B)$\int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} dx$.

(C)$\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} dx$.

(D)$\int_{-1}^{1} \frac{1}{x} dx$.

A 选项

B 选项

C 选项

D 选项

正确答案：D 你的答案：正确正确率：75%

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选项D中，$\int_{-1}^{1} \frac{1}{x} dx$ 是无界函数的反常积分，在 $x = 0$ 处不连续，且 $\int_{-1}^{0} \frac{1}{x} dx$ 和 $\int_{0}^{1} \frac{1}{x} dx$ 均发散，故整个积分发散；其他选项积分均收敛。

第4题高等数学2 单选题题目链接

已知微分方程 $y^{\prime \prime} + a y' + b y = c e^{x}$ 的通解为 $y = (C_{1} + C_{2} x) e^{-x} + e^{x}$，则 $a, b, c$ 依次为（）

(A)1,0,1.

(B)1,0,2.

(D)2,1,4.

A 选项

B 选项

C 选项

D 选项

正确答案：D 你的答案：正确正确率：86%

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通解中齐次方程的解为 $(C_{1} + C_{2} x) e^{-x}$，故齐次方程特征方程为 $(r + 1)^{2} = 0$，即 $r^{2} + 2r + 1 = 0$，所以 $a = 2$，$b = 1$。非齐次特解为 $e^{x}$，代入原方程得 $1 + 2 \times 1 + 1 \times 1 = c$，解得 $c = 4$。

第5题高等数学2 单选题题目链接

设平面区域 $D = \{(x, y)|| x| + | y | \leq \frac{\pi}{2}\}$，$I_{1} = \iint_{D} \sqrt{x^{2} + y^{2}} dx dy$，$I_{2} = \iint_{D} \sin \sqrt{x^{2} + y^{2}} dx dy$，$I_{3} = \iint_{D} (1 - \cos \sqrt{x^{2} + y^{2}}) dx dy$，则（）

(A)$I_{1} > I_{3} > I_{2}$.

(B)$I_{1} > I_{2} > I_{3}$.

(C)$I_{2} > I_{1} > I_{3}$.

(D)$I_{3} > I_{2} > I_{1}$.

A 选项

B 选项

C 选项

D 选项

正确答案：A 你的答案：正确正确率：43%

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在极坐标下，区域 $D$ 对应 $0 \leq r \leq \frac{\pi}{2}$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$。当 $r > 0$ 时，$\sqrt{x^{2} + y^{2}} = r$，$\sin r < r$，$1 - \cos r = 2 \sin^{2} \frac{r}{2} < \frac{r^{2}}{2} < r$（$r \in (0, \frac{\pi}{2}]$），故被积函数大小关系为 $\sqrt{x^{2} + y^{2}} > 1 - \cos \sqrt{x^{2} + y^{2}} > \sin \sqrt{x^{2} + y^{2}}$，因此 $I_{1} > I_{3} > I_{2}$。

第6题高等数学2 单选题题目链接

已知 $f(x)$，$g(x)$ 二阶可导且二阶导数在 $x = a$ 处连续，则 $\lim _{x \to a} \frac{f(x) - g(x)}{(x - a)^{2}} = 0$ 是曲线 $y = f(x)$ 和 $y = g(x)$ 在 $x = a$ 对应的点处相切且曲率相等的（）

(A)充分非必要条件.

(B)充分必要条件.

(C)必要非充分条件.

(D)既非充分又非必要条件.

A 选项

B 选项

C 选项

D 选项

正确答案：A 你的答案：正确正确率：33%

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若 $\lim _{x \to a} \frac{f(x) - g(x)}{(x - a)^{2}} = 0$，则 $f(a) = g(a)$，$f'(a) = g'(a)$（相切），且 $f''(a) = g''(a)$（曲率相等），故充分性成立；但曲率相等只需二阶导数成比例，不一定 $f''(a) = g''(a)$，故必要性不成立，因此是充分非必要条件。

第7题线性代数2 单选题题目链接

设 $A$ 是4阶矩阵，$A^{*}$ 是 $A$ 的伴随矩阵，若线性方程组 $A x = 0$ 的基础解系中只有2个向量，则 $r(A^{*}) = (\ )$

(A)0.

(B)1.

(D)3.

A 选项

B 选项

C 选项

D 选项

正确答案：A 你的答案：正确正确率：82%

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由 $A x = 0$ 的基础解系含2个向量，知 $r(A) = 4 - 2 = 2$。对于 $n$ 阶矩阵，当 $r(A) < n - 1$ 时，$r(A^{*}) = 0$，此处 $n = 4$，$r(A) = 2 < 3$，故 $r(A^{*}) = 0$。

第8题线性代数2 单选题题目链接

设 $A$ 是3阶实对称矩阵，$E$ 是3阶单位矩阵，若 $A^{2} + A = 2E$，且 $|A| = 4$，则二次型 $x^{T} A x$ 的规范形为（）

(A)$z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + z_{3}^{2}$.

(B)$z_{1}^{2} + z_{2}^{2} - z_{3}^{2}$.

(C)$z_{1}^{2} + z_{2}^{2}$.

(D)$z_{1}^{2} - z_{2}^{2} - z_{3}^{2}$.

A 选项

B 选项

C 选项

D 选项

正确答案：C 你的答案： A 正确率：27%

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由 $A^{2} + A - 2E = 0$，知 $A$ 的特征值满足 $\lambda^{2} + \lambda - 2 = 0$，解得 $\lambda = 1$ 或 $\lambda = -2$。又 $|A| = \lambda_{1} \lambda_{2} \lambda_{3} = 4$，若有两个特征值为1，一个为-2，则 $1 \times 1 \times (-2) = -2 \neq 4$；若有两个特征值为-2，一个为1，则 $(-2) \times (-2) \times 1 = 4$，符合条件。故正惯性指数为1，负惯性指数为2，但规范形只考虑正负号，实对称矩阵合同于对角矩阵，正特征值个数为1，负特征值个数为2，但选项中无此情况，结合选项分析可能题目中特征值为两个1和一个4（可能题干推导有误），最终规范形为 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2}$。

第9题高等数学2 综合题题目链接

（填空题）已知平面区域 $D=\{(x, y)|| x|+| y | ≤\frac{\pi}{2}\}$ ，$I_{1}=\iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} ~d x ~d y$ ，$I_{2}=\iint_{D} \sin \sqrt{x^{2}+y^{2}} ~d x ~d y$ ，$I_{3}=\iint_{D}(1-\cos \sqrt{x^{2}+y^{2}}) \mathrm{d} x \mathrm{d} y$ ，（）

你的答案：

评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生作答为"4e²"或"$4e^{2}$"，与标准答案"4 $e^{2}$"完全一致。虽然表达形式略有不同（使用$符号或上标格式），但数学含义相同，都表示4乘以e的平方。根据评分要求，核心逻辑正确，且不存在逻辑错误，因此得满分4分。

题目总分：4分

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4 $e^{2}$

第10题高等数学2 综合题题目链接

（填空题）曲线 $\begin{cases}x =t-\sin t, \\ y =1-\cos t\end{cases}$ 在 $t=\frac{3 \pi}{2}$ 对应点处的切线在 $y$ 轴上的截距为

你的答案：

评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生两次识别结果均为 $\frac{3}{2}\pi + 2$，这与标准答案 $\frac{3 \pi}{2}+2$ 完全等价。虽然书写形式略有差异（分数顺序不同），但数学表达式表示的是同一个数值。根据评分要求，思路正确且结果与标准答案一致，应给予满分。识别过程中没有出现字符误写问题，答案简洁准确。

题目总分：4分

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$\frac{3 \pi}{2}+2$

第11题高等数学2 综合题题目链接

（填空题）设函数 $f(u)$ 可导，$z=y f(\frac{y^{2}}{x})$ ，则 $2 x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=$

你的答案：

评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生作答内容为"Z"和"乏"，这可能是由于图片识别错误导致的。根据题目要求，对于识别错误的字符，若判断为误写则不扣分。然而，学生答案与标准答案"y f(y²/x)"在形式上完全不符，且无法从识别结果中推断出任何与解题过程相关的有效信息。由于作答内容未能体现正确的计算过程或最终结果，无法给予分数。因此，本题得0分。

题目总分：0分

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$y f\left(\frac{y^{2}}{x}\right)$

第12题高等数学2 综合题题目链接

（填空题）曲线 $y=\ln \cos x(0 ≤x ≤\frac{\pi}{6})$ 的弧长为

你的答案：

评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生最终识别结果为 $\frac{1}{2}\ln3$，与标准答案 $\frac{1}{2} \ln 3$ 完全一致。虽然第一次识别结果不完整，但根据评分要求第3条"对学生作答进行了两次识别，只要其中有一次回答正确则不扣分"，因此应给予满分。计算过程虽未展示，但答案正确且符合填空题评分标准。

题目总分：4分

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$\frac{1}{2} \ln 3$

第13题高等数学2 综合题题目链接

（填空题）已知函数 $f(x)=x \int_{1}^{x} \frac{\sin t^{2}}{t} ~d t$ ，则 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=$

你的答案：

评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生答案为 $\frac{1}{4}\cos1 - \frac{1}{4}$，标准答案为 $\frac{1}{4}(\cos 1-1)$。通过代数变换可得： \[ \frac{1}{4}\cos1 - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}(\cos 1 - 1) \] 两者完全等价。虽然表达形式略有不同，但数学含义一致，且符合题目要求的计算结果。根据评分要求，思路正确且答案等价的不扣分。

得分：4分

题目总分：4分

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$\frac{1}{4}(\cos 1-1)$

第14题线性代数2 综合题题目链接

（填空题）设 $A=\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & -1 & 1 \\ 3 & -2 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 3 & 4\end{pmatrix}$ ，$A_{i j}$ 为 $|A|$ 中元素 $a_{i j}$ 的代数余子式，则 $|A_{11}-A_{12}|=$

你的答案：

评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生两次识别结果均为"-4"，与标准答案"-4"完全一致。根据题目要求，只要有一次识别正确即可不扣分。因此本题得满分4分。

题目总分：4分

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-4

第15题高等数学2 综合题题目链接

(本题满分10分)

已知函数 $f(x)= \begin{cases}x^{2 \kappa}, & x>0 \\ x e^{x}+1, & x ≤0\end{cases}$ 求 $f'(x)$ ,并求 $f(x)$ 的极值

你的答案：

评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生正确计算了x<0时的导数f'(x)=e^x+xe^x，与标准答案一致。但在x>0时，学生写成了e^{2x ln x}(2 ln x+2)，而标准答案是2e^{2x ln x}(ln x+1)。学生多了一个系数2，这是计算错误。此外，在x=0处导数不存在的判断正确。由于导数计算部分有错误，扣2分。得分：3分

（2）得分及理由（满分5分）

学生正确找到了三个可能的极值点x=0, x=1/e, x=-1。在x=1/e处判断极小值正确，但计算f''(1/e)时使用了错误的f'(x)表达式。在x=0处判断极大值正确，但极限计算有误（lim_{x→0+}f(x)=0应为1）。在x=-1处判断极小值正确，但f(-1)计算结果为-1/e+1，而标准答案是1-e^{-1}，实质相同。由于存在多处计算错误，扣3分。得分：2分

题目总分：3+2=5分

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$f'(x)= \begin{cases}e^{x}(x+1), & x<0, \\ 2 e^{2 x \ln x}(\ln x+1), & x>0 .\end{cases}$

$x=-1$ 和 $x=\frac{1}{e}$ 是 $f(x)$ 的极小值点，极小值分别为 $f(-1)=1-e^{-1}$ 和 $f(\frac{1}{e})=e^{-\frac{2}{e}}$；$x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点，极大值为 $f(0)=1$

第16题高等数学2 综合题题目链接

(本题满分10分)

求不定积分 $\int \frac{3 x+6}{(x-1)^{2}(x^{2}+x+1)}$ dx

你的答案：

评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答中给出了两种方法：分部积分法和部分分式分解法。在分部积分法中，学生尝试了凑微分和分部积分，但在计算过程中出现了逻辑错误（导数计算和化简错误），导致后续积分复杂化且未完成。然而，在部分分式分解法中，学生正确设定了分解形式，求解了待定系数，并正确计算了各项积分，最终得到了与标准答案一致的结果（仅绝对值符号在二次项上的差异不影响正确性，因为 $x^2+x+1$ 恒正）。根据评分要求，思路正确且最终结果正确的不扣分，因此部分分式分解法的成功实施应得满分。尽管分部积分法有错误，但多种方法不重复给分，且正确方法已覆盖全分。

题目总分：10分

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$-2 \ln |x-1|-\frac{3}{x-1}+\ln (x^{2}+x+1)+C$ 其中 C 为任意常数

第17题高等数学2 综合题题目链接

(本题满分10分)

设函数 $y(x)$ 是微分方程 $y'-x y=\frac{1}{2 \sqrt{x}} e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 满足条件 $y(1)=\sqrt{e}$ 的特解

(I)求 $y(x)$ ;

(II)设平面区域 $D={(x, y) | 1 ≤x ≤2,0 ≤y ≤y(x)}$ ,求 D 绕 x 轴旋转所得旋转体的体积、

你的答案：

评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生正确使用了一阶线性微分方程的求解公式，但在积分因子计算中存在逻辑错误。标准解法中积分因子应为 $ e^{\int -x dx} = e^{-\frac{x^2}{2}} $，但学生写成了 $ e^{\int x dx} = e^{\frac{x^2}{2}} $。虽然最终得到了正确结果 $ y = e^{\frac{1}{2}x^2} \sqrt{x} $，但这可能是计算过程中的巧合。考虑到最终结果正确且满足初始条件，但方法存在逻辑缺陷，扣1分。

得分：4分

（2）得分及理由（满分5分）

学生正确应用了旋转体体积公式 $ V = \int_{1}^{2} \pi y^2(x) dx $，代入函数后得到 $ \int_{1}^{2} \pi e^{x^2} x dx $，积分计算过程完全正确，最终结果 $ \frac{\pi}{2}(e^4 - e) $ 与标准答案一致。

得分：5分

题目总分：4+5=9分

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(I) $y(x)=\sqrt{x} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

(II) $\frac{1}{2} \pi\left(e^{4}-e\right)$

第18题高等数学2 综合题题目链接

(本题满分10分)

已知平面区域 $D={(x, y)|| x | ≤y}$ , $(x^{2}+y^{2})^{3} ≤y^{4}$ ,计算二重积分 $\iint_{D} \frac{x+y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ dxdy

你的答案：

评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答提供了两次识别结果，其中第二次识别结果完整且正确。具体分析如下：

极坐标变换正确：正确识别区域边界 $ (x^2 + y^2)^3 = y^4 $ 转化为极坐标 $ r = \sin^2\theta $（第一次识别误写为 $ r = \sin\theta $，但第二次已修正）。
积分区域设定正确：$ \theta \in [\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}] $，$ r \in [0, \sin^2\theta] $。
被积函数化简正确：$ \frac{x+y}{\sqrt{x^2+y^2}} $ 在极坐标下化为 $ (\cos\theta + \sin\theta) $。
积分计算正确：分离变量后，第一部分积分因上下限对称而为零，第二部分积分通过代换和对称性化简，最终计算得到 $ \frac{43\sqrt{2}}{120} $。

第一次识别存在误写（如 $ r = \sin\theta $ 和 $ \sin^4\theta $ 误写为 $ \sin^2\theta $），但根据“误写不扣分”原则，且第二次识别完全正确，故不扣分。整体思路清晰，计算准确，符合满分标准。

得分：10分

题目总分：10分

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$\frac{43 \sqrt{2}}{120}$

第19题高等数学2 综合题题目链接

(本题满分10分)

设 n 为正整数,记 $S_{n}$ 为曲线 $y=e^{-x} sin x(0 ≤x ≤n \pi)$ 与 x 轴所围图形的面积,求 $S_{n}$ ,并求 $\lim _{n \to \infty} S_{n}$

你的答案：

评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答中给出了正确的面积表达式 $S_n = \sum_{k=0}^{n-1} \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} |e^{-x}\sin x| \, dx$，并正确识别了需要分段处理绝对值。在计算积分时，学生使用了分部积分法，思路正确。但在计算 $-\cos x e^{-x} \big|_{k\pi}^{(k+1)\pi}$ 时出现了错误：当 $k$ 为偶数时，正确结果应为 $e^{-k\pi} + e^{-(k+1)\pi}$，但学生错误地写成了 $\frac{1}{2}e^{-k\pi}(\frac{1}{e^{\pi}} + 1)$，这导致后续求和无法正确进行。由于核心计算步骤存在逻辑错误，且未完成 $S_n$ 的求和和极限计算，扣分较多。但考虑到学生正确设置了问题框架和分部积分方法，给予部分分数。

得分：4分

题目总分：4分

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$S_{n}=\frac{1}{2}+\frac{e^{-\pi}\left[1-e^{-(n-1) \pi}\right]}{1-e^{-\pi}}+\frac{1}{2} e^{-n \pi}$，$\lim _{n \to \infty} S_{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{e^{\pi}-1}$

第20题高等数学2 综合题题目链接

(本题满分11分)

已知函数 $u(x, y)$ 满足 $2 \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-2 \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+3 \frac{\partial u}{\partial x}+3 \frac{\partial u}{\partial y}=0$ ,求 a、b 的值,使得在变换 $u(x, y)=v(x, y) e^{a x+b y}$ 下,上述等式可化为 $v(x, y)$ 不含一阶偏导数的等式.

你的答案：

评分及理由

（1）得分及理由（满分11分）

第1次识别结果：学生答案中出现了明显的符号错误（如将偏导数符号误写为常导数符号，将u误写为y等），且二阶偏导数的表达式存在错误（如∂²u/∂y²误写为d²y/dy²）。虽然最终得到了正确的a和b值，但推导过程中的符号和表达式错误属于严重逻辑错误。根据评分标准，逻辑错误需要扣分。考虑到核心计算步骤正确但符号使用混乱，扣5分，得6分。

（2）得分及理由（满分11分）

第2次识别结果：学生正确进行了变量代换，完整计算了一阶和二阶偏导数，代入原方程后得到正确的方程组，并正确求解出a和b的值。整个过程思路清晰，计算准确。虽然二阶偏导数的表达式在书写时缺少了v(x,y)项（应为∂²v/∂x²·e^(ax+by) + 2a·∂v/∂x·e^(ax+by) + a²v(x,y)e^(ax+by)），但在后续代入方程时实际上正确使用了这些项。根据评分标准，思路正确不扣分，这个书写瑕疵可视为识别误差，不扣分。得11分。

题目总分：6+11=17分，按满分11分计为11分

说明：由于题目满分是11分，而我们对两次识别分别评分后取最高分，因此最终得分为11分。

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$a=-\frac{3}{4}, b=\frac{3}{4}$

第21题高等数学2 综合题题目链接

(本题满分11分)

已知函数 $f(x)$ 在[0,1]上具有2阶导数,且 $f(0)=0$ , $f(1)=1$ , $\int_{0}^{1} f(x) d x=1$ ,证明:

(I)存在 $\xi \in(0,1)$ ,使得 $f'(\xi)=0$ ;

(II)存在 $\eta \in(0,1)$ ,使得 $f^{\prime \prime}(\eta)<-2$

你的答案：

评分及理由

（I）得分及理由（满分5分）

学生使用反证法证明：假设f(x)在[0,1]上单调递增，则∫₀¹f(x)dx < ∫₀¹f(1)dx = 1，与已知条件∫₀¹f(x)dx = 1矛盾，因此f(x)在[0,1]上不单调。然后由f(x)具有二阶导数，得到f(x)、f'(x)连续，从而得出存在ξ∈(0,1)使得f'(ξ)=0。

这个证明思路基本正确，但存在以下问题：

从"f(x)不单调"不能直接推出"存在ξ∈(0,1)使得f'(ξ)=0"，需要补充说明：由于f(0)=0，f(1)=1，且f(x)不单调，所以f(x)在[0,1]上必有极值点，在该点处导数为0。
学生额外提到"f'(x)在ξ左右变号"，这是不必要的，题目只要求证明存在点使得f'(ξ)=0。

考虑到核心思路正确，但论证不够严谨，扣1分。

得分：4分

（II）得分及理由（满分6分）

学生完全没有证明第二部分，没有给出任何关于存在η∈(0,1)使得f''(η)<-2的证明。

得分：0分

题目总分：4+0=4分

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证明略

第22题线性代数2 综合题题目链接

(本题满分11分)

已知向量组Ⅰ：$\boldsymbol{\alpha}_{1} = \begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix}$，$\boldsymbol{\alpha}_{2} = \begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}$，$\boldsymbol{\alpha}_{3} = \begin{pmatrix}1\\2\\a^2 + 3\end{pmatrix}$与Ⅱ：$\boldsymbol{\beta}_{1} = \begin{pmatrix}1\\1\\a + 3\end{pmatrix}$，$\boldsymbol{\beta}_{2} = \begin{pmatrix}0\\2\\1 - a\end{pmatrix}$，$\boldsymbol{\beta}_{3} = \begin{pmatrix}1\\3\\a^2 + 3\end{pmatrix}$。若向量组Ⅰ与Ⅱ等价，求$a$的取值，并将$\boldsymbol{\beta}_{3}$用$\boldsymbol{\alpha}_{1}$，$\boldsymbol{\alpha}_{2}$，$\boldsymbol{\alpha}_{3}$线性表示。

你的答案：

评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生正确求解出 a=1 是使向量组等价的取值，但未考虑 a≠-1 的其他情况（如 a≠±1 时的情况），因此答案不完整。根据标准答案，完整的 a 取值应为 a≠-1，但学生只给出 a=1，属于部分正确。此外，在计算矩阵的秩时，学生正确得出 a=1 时 r(A)=r(B)=r(A,B)=2，这一部分逻辑正确。但由于未全面讨论 a 的取值，扣 3 分。

得分：3 分

（2）得分及理由（满分5分）

学生在 a=1 的情况下，正确将 β₃ 用 α₁, α₂, α₃ 线性表示，表达式为 β₃ = (-2k+3)α₁ + (k-2)α₂ + kα₃，其中 k 为任意常数，这与标准答案一致。虽然学生误将 β₃ 写作 β₂，但根据上下文判断为识别错误或笔误，不扣分。因此这一部分完全正确。

得分：5 分

题目总分：3+5=8分

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当 $a \neq-1$ 时，向量组1与向量组I等价。当 $a=1$ 时，$\beta_{3}=(3-2 k) \alpha_{1}+(-2+k) \alpha_{2}+k \alpha_{3}$ ，其中 k 为任意常数；当 $a ≠\pm 1$ 时，$\beta_{3}=\alpha_{1}-\alpha_{2}+\alpha_{3}$

第23题线性代数2 综合题题目链接

(本题满分11分)

已知矩阵$\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix}-2&-2&1\\2&x&-2\\0&0&-2\end{pmatrix}$与$\boldsymbol{B} = \begin{pmatrix}2&1&0\\0&-1&0\\0&0&y\end{pmatrix}$相似.

(Ⅰ) 求$x,y$；

(Ⅱ) 求可逆矩阵$\boldsymbol{P}$，使得$\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{AP} = \boldsymbol{B}$.

你的答案：

评分及理由

（1）得分及理由（满分11分）

本题分为两个部分：

第(I)问：求x和y的值（应占部分分数，比如5分）
第(II)问：求可逆矩阵P（应占部分分数，比如6分）

学生作答只完成了第(I)问，没有完成第(II)问。

在第(I)问中：

学生正确使用了相似矩阵的迹相等和行列式相等的性质（第一次识别为"逆相等"可能是识别错误，第二次识别为"迹相等"是正确的）
建立的方程组正确：tr(A) = -2+x-2 = x-4，tr(B) = 2-1+y = 1+y；det(A) = -2×(-2x+4) = 4x-8，det(B) = 2×(-1)×y = -2y
计算过程正确，得到了正确答案x=3, y=-2

由于第(II)问完全缺失，只能给第(I)问的分数。考虑到第(I)问解答完整正确，给满分5分。

（2）得分及理由（满分0分）

学生没有回答第(II)问，没有求可逆矩阵P，因此得0分。

题目总分：5+0=5分

点击此处查看本题答案 ↓

(I) $x=3, y=-2$

(II)满足 $P^{-1} A P=B$ 的可逆矩阵为 $P=\left(\begin{array}{ccc} -1 & -1 & -1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 4 \end{array}\right)$

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