[命题目的]考查求导的运算能力.

[详细解答] \(f(x)=2x(x-1)(x-2)+x^{2}(x-2)+x^{2}(x-1)=(4x^{3}-9x^{2}+4x)\)

令 \(f'(x)=0\) ,则可得 \(f'(x)\) 零点的个数为3.

[易错辨析] \(a x^{2}+b x+c=0\) ,当 \(b^{2}-4 a c>0\) 时有两个实根.

[延伸拓展] n 次方程有几个根.

[命题目的]考查定积分的分部积分法及定积分的几何意义.

[详细解答] \(\int_{0}^{a} x f'(x) d x=\int_{0}^{a} x ~d f(x)=a f(a)-\int_{0}^{a} f(x) d x\) ,其中 \(af(a)\) 是矩形面积, \(\int_{0}^{a} f(x) d x\) 为曲边梯形的面积,所以 \(\int_{0}^{a} x f'(x) d x\) 为曲边三角形的面积.

[易错辨析]若 \(f(x) ≤0\) ,则曲边梯形的面积为: \(-\int_{0}^{a} f(x) d x\)

[延伸拓展]必须熟练掌握定积分的分部积分法及变量替换法

[命题目的]考查高阶齐次常系数微分方程的解法

[详细解答]由 \(y=C_{1} e^{x}+C_{2} cos 2 x+C_{3} sin 2 x\) 可知其特征根为 \(\lambda_{1}=1\) , \(\lambda_{2,3}= \pm 2 i\)

特征方程为: \((\lambda-1)(\lambda+2 i)(\lambda-2 i)=(\lambda-1)(\lambda^{2}+4)\) ,即 \(\lambda^{3}-\lambda^{2}+4 \lambda-4=0\) 所以所求微分方程为: \(y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}+4 y'-4 y=0\) ,故选(D).

[易错辨析] \(C_{2} cos 2 x+C_{3} sin 2 x\) 对应的特征方程中 \((\lambda+2 i)(\lambda-2 i)\) ,即 \(\lambda^{2}+4\)

[延伸拓展]高阶齐次常系数微分方程的解法见同济大学高等数学第五版下册.

[命题目的]考查函数间断点及其类型.

[详细解答] \(f(x)\) 的间断点为 \(x=1,0\) ,而 \(\lim _{x \to 0^{+}} f(x)=0\) ,故 \(x=0\) 是可去间断点; \(\lim _{x \to 1^{+}} f(x)=sin 1\) , \(\lim _{x \to 1^{-}} f(x)=-sin 1\) ,故 \(x=1\) 是跳跃间断点. 故应选(A).

[延伸拓展]在点x可导一定连续,连续不一定可导.

[命题目的]考查定理:单调有界数列一定有极限.

[详细解答]若 \({x_{n}}\) 单调,则由 \(f(x)\) 在 \((-\infty,+\infty)\) 内单调有界,知 \(f(x_{n})\) 单调有界, 因此 \({f(x_{n})}\) 收敛,故应选(B).

[延伸拓展]"单调有界数列一定有极限"具体表述为:单增有上界数列一定有极限;单减有下界 数列一定有极限

[命题目的]考查二重积分的极坐标变换及求偏导数和对定积分上限变量求导.

[详细解答]用极坐标得 \(F(u, v)=\int_{0}^{v} d\theta \int_{1}^{u} \frac{f(r^{2})}{r} \cdot r dr=v \int_{1}^{u} f(r^{2}) dr\) ，\(\therefore \frac{\partial F}{\partial u}=v f(u^{2})\)

[命题目的]考查逆矩阵的概念

[详细解答]方法一: \((E-A)(E+A+A^{2})=E-A^{3}=E\) , \((E+A)(E-A+A^{2})=E+A^{3}=E\) 故 \(E-A\) 、 \(E+A\) 均可逆

方法二:假设 A 的特征值为 λ ,则 \(\lambda^{3}=0, \therefore \lambda=0\) ，\(E-A\) ，\(E+A\) 的特征值都为1,所以 \(|E-A|=|E+A|=1\) 所以 \(E-A\) 可逆, \(E+A\) 可逆.

[易错辨析] \(A^{3}=0\) 不能推出 \(A=0\)

[延伸拓展]1.矩阵 A 可逆的充要条件:

A 可逆 有矩阵 B 满足 \(A B=B A=E \Leftrightarrow \exists\) 矩阵 B ,满足 \(A B=E\) 或 \(B A=E \Leftrightarrow|A| ≠0 \Leftrightarrow A\) 的所有特征 值不等于 \(0 \Leftrightarrow r(A)=n\)

2.假设 A 的特征值为 λ ,则 A 的多项式 \(P_{n}(A)\) 的特征值为 \(P_{n}(\lambda)\) .

[命题目的]考查二个矩阵合同的概念

[详细解答]方法一: \(|\lambda E-A|=|\begin{array}{cc}\lambda-1 & -2 \\ -2 & \lambda-1\end{array}|=(\lambda-1)^{2}-4=\lambda^{2}-2 \lambda-3=(\lambda+1)(\lambda-3)=0\)

则 \(\lambda_{1}=-1\) ，\(\lambda_{2}=3\) ,记 \(D=(\begin{array}{cc}1 & -2 \\ -2 & 1\end{array})\) ,则

\[|\lambda E-D|=\left|\begin{array}{cc} \lambda-1 & 2 \\ 2 & \lambda-1 \end{array}\right|=(\lambda-1)^{2}-4=\lambda^{2}-2 \lambda-3=(\lambda+1)(\lambda-3)=0\]

则 \(\lambda_{1}=-1\) , \(\lambda_{2}=3\)

方法二: \(|A|=|\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 1\end{array}|=-3=\lambda_{1} \lambda_{2}\) 说明 A 的特征值为一正一负,对于(D), \(|D|=|\begin{array}{cc}1 & -2 \\ -2 & 1\end{array}|=-3\) 说明 D 的特征值也为一正一负，A与D的正负惯性指数相同,故应选(D)

【易错辨析]方法二只对本题适用(读者自己思考为什么?).

[延伸拓展]两个矩阵等价、相似、合同概念的不同点.

命题目的考查 \(“ \frac{0}{0} ”\) 不定型的计算。详细解答 \(\lim _{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} x^{2} f^{2}(x)}{x^{2} f(x)}=1\) ，化简可得 \(\frac{1}{2}f(0)=1\)，故 \(f(0)=2\)。易错辨析对于加减项不能使用等价无穷小代换。

命题目的考查求解一阶线性微分方程。详细解答将方程整理为 \(y'-\frac{y}{x}=x e^{-x}\) ，其中 \(P=-\frac{1}{x}\) ，\(Q=x e^{-x}\) 。利用一阶线性微分方程通解公式 \(y=e^{\int \frac{1}{x} d x}\left(\int x e^{-x} e^{\int \frac{1}{x} d x} d x+C\right)=x\left(\int e^{-x} d x+C\right)=-x e^{-x}+C x\) 。延伸拓展1.也可用常数变易法求解一阶线性微分方程；2.一阶线性微分方程通解=齐次方程通解+非齐次方程特解。

命题目的考查隐函数求导及导数的几何意义。详细解答方法一：设 \(F(x, y)=\sin (x y)+\ln (y-x)-x\) ，计算 \(k=-\frac{F_{x}}{F_{y}}=-\frac{y \cos (x y)+\frac{-1}{y-x}-1}{x \cos (x y)+\frac{1}{y-x}}\) ，代入 \(x=0\) ，\(y=1\) 得 \(k=1\) ，切线方程为 \(y=x+1\) 。方法二：方程两边对 \(x\) 求导，\(\cos (x y) \cdot(y+x y')+\frac{y'-1}{y-x}=1\) ，令 \(x=0\) ，\(y=1\) ，得 \(k=y'(0)=1\) ，切线方程为 \(y=x+1\) 。易错辨析 \(\sin (x y)\) 对 \(x\) 求导，\(y\) 是中间变量，计算时不用求出 \(y'\) 的表达式，直接代入 \(x=0\) ，\(y=1\) 即可得出 \(k=1\) 。延伸拓展只要不对自变量 \(x\) 求导，都要按照复合函数求导。

命题目的考查拐点的概念。详细解答计算 \(f'(x)=x^{\frac{2}{3}}+(x-5) \frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}}=\frac{5}{3}(x-2) x^{-\frac{1}{3}}\) ，再求二阶导数 \(f^{\prime \prime}(x)=\frac{10}{9} x^{-\frac{4}{3}}(x+1)=0\) ，得 \(x=-1\) ，当 \(x=-1\) 时 \(f^{\prime \prime}(x)\) 左右两边变号，故拐点坐标为 \((-1,-6)\) ；\(x=0\) 时，二阶导数不存在且 \(f^{\prime \prime}(x)\) 左右两边正负号不变，故 \((0,0)\) 不是拐点坐标。易错辨析1.如果在 \((0,0)\) 两侧 \(f^{\prime \prime}(x)\) 正负号改变，则 \((0,0)\) 也是拐点；2.拐点应表示成 \((x_{0}, f(x_{0}))\) 。延伸拓展如果在 \((x_{0}, f(x_{0}))\) 两侧 \(f^{\prime \prime}(x)\) 正负号改变，则 \((x_{0}, f(x_{0}))\) 是拐点。

命题目的考查多元函数的复合函数求导。详细解答方法一：令 \(u=\frac{y}{x}\) ，\(v=\frac{x}{y}\) ，则 \(z=u^{v}\) ，取对数后对 \(x\) 求导，可得 \(\frac{1}{z} \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{y} \ln \frac{y}{x}-\frac{1}{y}\) ，代入 \((1,2)\) 得 \(\frac{\partial z}{\partial x}|_{(1,2)}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\ln 2-1)\) 。方法二：取对数后对 \(x\) 求导，代入 \((1,2, \sqrt{2})\) 得 \(\frac{\partial z}{\partial x}|_{(1,2)}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\ln 2-1)\) 。易错辨析方法二比方法一运算量小，不易出错。延伸拓展本题也可求 \(d z=\frac{\partial z}{\partial x} ~d x+\frac{\partial z}{\partial y} ~d y\) 。

命题目的考查 \(|A|=\lambda_{1} \lambda_{2} \cdots \lambda_{n}\) 、\(|k A|=k^{n}|A|\) 。详细解答由 \(|2 A|=2^{3}|A|=-48\) ，得 \(|A|=-6\) ，又 \(|A|=2 \times 3 \times \lambda=-6\) ，故 \(\lambda=-1\) 。易错辨析错误运算 \(|2 A|=2|A|=-48\) ，正确应为 \(|2 A|=2^{3}|A|\) 。延伸拓展假设 \(A\) 的特征值为 \(\lambda\) ，则 \(A\) 的多项式 \(P_{n}(A)\) 的特征值为 \(P_{n}(\lambda)\) 。

\[\begin{aligned} [ 详细解答] lim _{x \to 0} \frac{[sin x-sin (sin x)] sin x}{x^{4}} & =lim _{x \to 0} \frac{sin x-sin (sin x)}{x^{3}}=lim _{x \to 0} \frac{cos x-cos (sin x) \cdot cos x}{3 x^{2}} \\ & =lim _{x \to 0} \frac{cos x[1-cos (sin x)]}{3 x^{2}}=lim _{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} sin ^{2} x \cdot cos x}{3 x^{2}}=\frac{1}{6} . \end{aligned}\]

[命题目的]考查 \(\frac{0}{0}\) 型极限的计算。

[思路点拔]先使用等价无穷小代换,然后使用洛必达法则.

[易错辨析]对于加、减项不能使用等价无穷小代换。

[延伸拓展] \(“ \frac{0}{0} ”\) , \("1"\) 等其他不定型的极限的求法

[详细解答] \(e^{x} ~d x=2 t ~d t\) ，积分得 \(e^{x}=t^{2}+C\) ，由 \(x|_{t=0}=0\) 得 \(C=1\) ，故 \(x=\ln(1+t^{2})\)

\[\frac{d y}{ d x}=\frac{y'_{t}}{x'_{t}}=\frac{2 t \ln \left(1+t^{2}\right)}{\frac{2 t}{1+t^{2}}}=\left(1+t^{2}\right) \ln \left(1+t^{2}\right)\]

\[\frac{d^{2} y}{ d x^{2}}=\frac{\left[\left(1+t^{2}\right) \ln \left(1+t^{2}\right)\right]'}{x'_{t}}=\frac{2 t \ln \left(1+t^{2}\right)+2 t}{\frac{2 t}{1+t^{2}}}=\left(1+t^{2}\right)\left[\ln \left(1+t^{2}\right)+1\right] .\]

[命题目的]考查求微分方程特解和参数方程求导。

[思路点拨]1.对 \(x\) 和 \(t\) ，为可分离变量方程；2. 求导过程中，\(t\) 是中间变量。

[延伸拓展]可用相同方法求三阶导数。

答案：
[命题目的] 考查定积分的变量替换。
[思路点拨] 对含\(\sqrt{a^{2}-x^{2}}\)类型的积分，令\(x = a\sin t\)。
[详细解答] 令\(x = \sin t\)，则\(\int_{0}^{1}\frac{x^{2}\arcsin x}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^{2}t\cdot t}{\cos t}\cos tdt\)
\(=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}tdt - \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}t\cos2tdt = \frac{1}{4}+\frac{\pi^{2}}{16}\)。
[易错辨析] 定积分变量替换一定要改变上下限。
[延伸拓展] 对含\(\sqrt{a^{2}+x^{2}}\)类型的积分，令\(x = a\tan t\)。

\[\begin{aligned} \iint_{D} \max \{x y, 1\} d x d y & =\int_{0}^{\frac{1}{2}} d x \int_{0}^{2} 1 d y+\int_{\frac{1}{2}}^{2} d x \int_{0}^{\frac{1}{x}} 1 d y+\int_{\frac{1}{2}}^{2} d x \int_{\frac{1}{x}}^{2} x y d y \\ & =\int_{0}^{\frac{1}{2}} 2 d x+\int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{1}{x} d x+\int_{\frac{1}{2}}^{2} x\left[\frac{y^{2}}{2}\Big|_{\frac{1}{x}}^{2}\right] d x \\ & =1 + [\ln x]_{\frac{1}{2}}^{2} + \int_{\frac{1}{2}}^{2} x\left(2 - \frac{1}{2x^{2}}\right) d x \\ & =1 + (\ln 2 - \ln \frac{1}{2}) + \int_{\frac{1}{2}}^{2} (2x - \frac{1}{2x}) d x \\ & =1 + 2\ln 2 + \left[x^{2} - \frac{1}{2}\ln x\right]_{\frac{1}{2}}^{2} \\ & =1 + 2\ln 2 + \left(4 - \frac{1}{2}\ln 2 - \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\ln \frac{1}{2}\right) \\ & =\frac{19}{4} + \ln 2 . \end{aligned}\]

[命题目的]考查分段函数的二重积分。

[思路点拨]不同区域中对不同的表达式积分。

[易错辨析]任何平面曲线 \(f(x, y)=0\) 将平面分成 \(f(x, y)>0\) 和 \(f(x, y)<0\) 两部分，做题时要找出这两部分的正确位置。

[延伸拓展]与本题类似可计算以下积分：\(\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \max \{x, y\} e^{-(x^{2}+y^{2})} d x ~d y\)（答案为 \(-\frac{\sqrt{2 \pi}}{2}\)）。

旋转体体积 \(V(t)=\pi \int_{0}^{t} [f(x)]^{2} ~d x\)

旋转体的侧面积 \(S(t)=2\pi \int_{0}^{t} f(x) \sqrt{1+[f'(x)]^{2}} ~d x\)

由题意 \(S(t)=2V(t)\) ，即 \(2\pi \int_{0}^{t} f(x) \sqrt{1+[f'(x)]^{2}} ~d x=2\pi \int_{0}^{t} [f(x)]^{2} ~d x\)

两边对 \(t\) 求导，得 \(f(t) \sqrt{1+[f'(t)]^{2}}=[f(t)]^{2}\) ，化简得 \(\sqrt{1+[f'(t)]^{2}}=f(t)\)

两边平方得 \(1+[f'(t)]^{2}=[f(t)]^{2}\) ，即 \([f'(t)]^{2}=[f(t)]^{2}-1\)

因为 \(f(x)\) 单调增加，所以 \(f'(t)=\sqrt{[f(t)]^{2}-1}\) ，分离变量得 \(\frac{df}{\sqrt{f^{2}-1}}=dt\)

积分得 \(\ln(f+\sqrt{f^{2}-1})=t+C\) ，由 \(f(0)=1\) ，得 \(C=0\) ，故 \(\ln(f+\sqrt{f^{2}-1})=t\)

解得 \(f(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}=\cosh x\)

[命题目的]考查旋转体侧面积、体积计算及微分方程的综合应用。

[思路点拨]由 \(\frac{S(t)}{V(t)}=2\) 对上限变量求导得到微分方程。

(I)设 \(M\) 及 \(m\) 分别是函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上的最大值及最小值，则

\[m(b-a) \leq \int_{a}^{b} f(x) d x \leq M(b-a)\]

不等式各除以 \(b-a\) ，得 \(m \leq \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) d x \leq M\)

根据闭区间上连续函数的介值定理，在 \([a, b]\) 上至少存在一点 \(\eta\) ，使得 \(f(\eta)=\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) d x\) ，即 \(\int_{a}^{b} f(x) d x=f(\eta)(b-a)\)

(II)由积分中值定理，存在 \(c \in(2,3)\) ，使得 \(\int_{2}^{3} \varphi(x) d x=\varphi(c)\) ，由题设 \(\varphi(2)>\varphi(1)\) 且 \(\varphi(2)>\varphi(c)\)

对 \(\varphi(x)\) 在 \([1,2]\) 和 \([2,c]\) 上分别使用拉格朗日中值定理，得

\[\varphi^{\prime}(\xi_{1})=\frac{\varphi(2)-\varphi(1)}{2-1}>0\] （\(\xi_{1} \in(1,2)\)）

\[\varphi^{\prime}(\xi_{2})=\frac{\varphi(c)-\varphi(2)}{c-2}<0\] （\(\xi_{2} \in(2,c)\)）

对 \(\varphi^{\prime}(x)\) 在 \([\xi_{1}, \xi_{2}]\) 上使用拉格朗日中值定理，存在 \(\xi \in(\xi_{1}, \xi_{2}) \subset(1,3)\) ，使得

\[\varphi^{\prime \prime}(\xi)=\frac{\varphi^{\prime}(\xi_{2})-\varphi^{\prime}(\xi_{1})}{\xi_{2}-\xi_{1}}<0\]

[命题目的]考查积分中值定理证明及导数应用。

[思路点拨]第一问的结果是解答第二问的关键。

[易错辨析]连续函数的介值定理中 \(\eta\) 在闭区间 \([a, b]\) 上。

[延伸拓展]改进后的积分中值定理中 \(\xi\) 可在开区间 \((a, b)\) 上。

答案：

[命题目的] 考查条件极值的拉格朗日乘数法.

[思路点拨] 求解有二个条件的条件极值的方法和求解有一个条件的条件极值的方法相同.

[详细解答] 设 \( F(x,y,z)=x^2 + y^2 + z^2 + \lambda_1(x^2 + y^2 - z) + \lambda_2(x + y + z - 4) \)

得方程组\(\begin{cases}F_x(x,y,z) = 0 \\ F_y(x,y,z) = 0 \\ F_z(x,y,z) = 0 \\ x^2 + y^2 - z = 0 \\ x + y + z - 4 = 0\end{cases}\) 即\(\begin{cases}2x + 2x\lambda_1 + \lambda_2 = 0 \\ 2y + 2y\lambda_1 + \lambda_2 = 0 \\ 2z - \lambda_1 + \lambda_2 = 0 \\ x^2 + y^2 - z = 0 \\ x + y + z - 4 = 0\end{cases}\) ，解得\(\begin{cases}x = - 2 \\ y = - 2 \\ z = 8\end{cases}\) 或\(\begin{cases}x = 1 \\ y = 1 \\ z = 2\end{cases}\) 

得 \( U_{\max}=(-2)^2 + (-2)^2 + 8^2 = 72 \).

\( U_{\min}=1^2 + 1^2 + 2^2 = 6 \).

[易错辨析] 求解方程组是最容易出错的地方，计算时应仔细.

[延伸拓展] 有更多约束条件的最值问题.

[命题目的]计算 n 阶三对角线行列式、求解非齐次方程组、

[思路点拨]非齐次方程组的通解=齐次方程组的通解+非齐次方程组的特解。

[详细解答] (I) |A| = \(\left|\begin{array}{ccccc} 2 a & 1 & & & \\ a^{2} & 2 a & \ddots & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & & \ddots & \ddots & 1 \\ & & & & 2 a \end{array}\right|\left|\begin{array}{cccccc} 2 a & 1 & & & & \\ 0 & \frac{3 a}{2} & 1 & & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & a^{2} & 2 a \end{array}\right|\) = \((n+1) a^{n}\) 。

另一种方法（递推法）：

\[D_{n} =|A|=\left|\begin{array}{cccccc}2 a & 1 & & & & \\ a^{2} & 2 a & 1 & & & \\ & a^{2} & 2 a & \ddots & & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & & \ddots & \ddots & 1 \\ & & & a^{2} & 2 a\end{array}\right|=2 a D_{n-1}-a^{2}\left|\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & & 0 \\ a^{2} & 2 a & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a^{2} & 2 a & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & a^{2} & 2 a & 1 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & a^{2} & 2 a & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & \cdots & a^{2} & 2 a \end{array}\right|\]

直接计算得：\(D_{1}=2 a=(1+1) a^{1}\)，\(D_{2}=3 a^{2}=(2+1) a^{2}\)，假设 \(D_{n-1}=n a^{n-1}\)，则 \(D_{n}=2 a D_{n-1}-a^{2} D_{n-2}=2 a n a^{n-1}-a^{2}(n-1) a^{n-2}=(2 n-n+1) a^{n}=(n+1) a^{n}\)。

(II)方程组有唯一解，由 \(Ax=B\)，知 \(|A|≠0\)，又 \(|A|=(n+1) a^{n}\)，故 \(a≠0\)。

记 \(A=A_{n×n}\)，由克莱姆法则知，\(x_{1}=\frac{|A_{1}|}{|A|}\)，其中\(A_{1}\)是将\(A\)的第一列替换为\(b\)后的行列式，经计算可得\(x_{1}=\frac{n a^{n-1}}{(n+1) a^{n}}=\frac{n}{(n+1) a}\)。

(III)方程组有无穷多解时，\(|A|=0\)，即\(a=0\)。此时\((A|B)=\left(\begin{array}{cccc|c}0 & 1 & 0 & \cdots & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0\end{array}\right)\)，对应的齐次方程组\(Ax=0\)的基础解系为\(\xi=(1,0,0,\cdots,0)^{T}\)，非齐次方程组的一个特解为\(\eta=(0,1,0,\cdots,0)^{T}\)，故通解为\(x=k(1,0,0,\cdots,0)^{T}+(0,1,0,\cdots,0)^{T}\)，其中\(k\)为任意常数。

[易错辨析]用递推法计算\(|A|\)的值比使用行列式性质计算，运算量要小得多。

[命题目的]考查向量的线性相关性。

[思路点拨]使用线性相关和线性无关的定义进行证明。

[详细解答](I)方法一：假设\(\alpha_{1}\)，\(\alpha_{2}\)，\(\alpha_{3}\)线性相关，因为\(\alpha_{1}\)，\(\alpha_{2}\)是不同特征值的特征向量，所以线性无关，则\(\alpha_{3}\)可由\(\alpha_{1}\)，\(\alpha_{2}\)线性表出，不妨设\(\alpha_{3}=l_{1} \alpha_{1}+l_{2} \alpha_{2}\)，其中\(l_{1}\)，\(l_{2}\)不全为零（若\(l_{1}\)，\(l_{2}\)同时为0，则\(\alpha_{3}\)为0，由\(A \alpha_{3}=\alpha_{2}+\alpha_{3}\)可知\(\alpha_{2}=0\)）。

\(\because A \alpha_{1}=-\alpha_{1}\)，\(A \alpha_{2}=\alpha_{2}\)，\(\therefore A \alpha_{3}=\alpha_{2}+\alpha_{3}=\alpha_{2}+l_{1} \alpha_{1}+l_{2} \alpha_{2}\)，又\(A \alpha_{3}=A(l_{1} \alpha_{1}+l_{2} \alpha_{2})=-l_{1} \alpha_{1}+l_{2} \alpha_{2}\)，\(\therefore -l_{1} \alpha_{1}+l_{2} \alpha_{2}=\alpha_{2}+l_{1} \alpha_{1}+l_{2} \alpha_{2}\)，整理得：\(2 l_{1} \alpha_{1}+\alpha_{2}=0\)，则\(\alpha_{1}\)，\(\alpha_{2}\)线性相关，矛盾（因为\(\alpha_{1}\)，\(\alpha_{2}\)分别属于不同特征值的特征向量，故\(\alpha_{1}\)，\(\alpha_{2}\)线性无关），故\(\alpha_{1}\)，\(\alpha_{2}\)，\(\alpha_{3}\)线性无关。

方法二：因为\(\alpha_{1}\)，\(\alpha_{2}\)是不同特征值的特征向量，所以线性无关。假设\(k_{1} \alpha_{1}+k_{2} \alpha_{2}+k_{3} \alpha_{3}=0\) ①，则\(k_{1} A \alpha_{1}+k_{2} A \alpha_{2}+k_{3} A \alpha_{3}=0\)，即\(-k_{1} \alpha_{1}+k_{2} \alpha_{2}+k_{3}(\alpha_{2}+\alpha_{3})=0\) ②，①-②，得\(2 k_{1} \alpha_{1}-k_{3} \alpha_{2}=0\)，所以\(k_{1}=k_{3}=0\)，所以\(k_{2} \alpha_{2}=0\)，故\(k_{2}=0\)，所以\(\alpha_{1}\)，\(\alpha_{2}\)，\(\alpha_{3}\)线性无关。

(II)记\(P=(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})\)，则\(P\)可逆，\(A(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})= (A \alpha_{1}, A \alpha_{2}, A \alpha_{3}) = (-\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{2}+\alpha_{3}) = (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})\left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\)，即\(AP=P\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\)，\(\therefore P^{-1} A P=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\)。

[易辨析]以下说法是错误的：线性相关，则任一向量可用其他向量线性表示。正确说法是：\(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}\)线性相关，则其中某一向量可用其他向量线性表示。