三个可去间断点。 解析：分别求\( x\to0 \)、\( x\to\frac{\pi}{2} \)、\( x\to -\frac{\pi}{2} \)时的极限，判断间断点类型，得出\( x = 0 \)、\( x = \frac{\pi}{2} \)、\( x = -\frac{\pi}{2} \)均为可去间断点 。

绝对收敛。 解析：用归纳法知\( 0 \lt u_n \lt 2 \)且\(\{u_n\}\)单调增加，求出\(\lim_{n\to\infty}u_n = 2\)，再通过极限\(\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{2 - u_{n + 1}}}{\sqrt{2 - u_n}}=\frac{1}{2}\lt1\)，由比较审敛法知\(\sum_{n = 1}^{\infty}\sqrt{2 - u_n}\)收敛，故原级数绝对收敛 。

\( I_3 \leq I_1 \leq I_2 \)。 解析：由对称性知\(\iint_{D_k}xy^2e^{-x^2}d\sigma = 0\)，则\( I_k = \iint_{D_k}x^2\sin(x^2 + y^2)d\sigma \)，根据积分区域包含关系及被积函数非负性判断\( 0 \lt I_1 \leq I_2 \)，计算\( I_3 \)并判断其小于\( 0 \)，得出\( I_3 \leq I_1 \leq I_2 \) 。

要解决这个问题，我们需要逐步分析微分方程的解在\( x=0 \)处的性质，具体步骤如下： ### **步骤1：计算\( P(x) = \int_{0}^{1}|x - t|dt \)** \( P(x) \)是含绝对值的积分，需根据\( x \)与积分区间\([0,1]\)的关系分段讨论： - **当\( x \leq 0 \)时**：\( t \in [0,1] \)，故\( t \geq x \)，即\(|x - t| = t - x\)，积分得： \[ P(x) = \int_{0}^{1}(t - x)dt = \left[\frac{t^2}{2} - xt\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - x \] - **当\( 0 < x < 1 \)时**：分\( t \in [0,x] \)（此时\(|x - t| = x - t\)）和\( t \in [x,1] \)（此时\(|x - t| = t - x\)），积分得： \[ P(x) = \int_{0}^{x}(x - t)dt + \int_{x}^{1}(t - x)dt = \frac{x^2}{2} + \left(\frac{1}{2} - x + \frac{x^2}{2}\right) = x^2 - x + \frac{1}{2} \] - **当\( x \geq 1 \)时**：\( t \in [0,1] \)，故\( t \leq x \)，即\(|x - t| = x - t\)，积分得： \[ P(x) = \int_{0}^{1}(x - t)dt = \left[xt - \frac{t^2}{2}\right]_{0}^{1} = x - \frac{1}{2} \] ### **步骤2：分析微分方程在\( x=0 \)处的性质** 微分方程为\( y' - P(x)y = \frac{1}{2}e^x - 1 \)，是一阶线性非齐次微分方程。我们需要判断\( x=0 \)处的极值或拐点，需计算\( f'(0) \)和\( f''(0) \)。 #### **计算\( f'(0) \)** 已知\( y(0) = 1 \)，代入微分方程\( x=0 \)处： - 先求\( P(0) \)：由分段函数，\( x=0 \)时\( P(0) = \frac{1}{2} \)（左右极限一致）。 - 代入方程：\( y'(0) - P(0)y(0) = \frac{1}{2}e^0 - 1 \)，即： \[ y'(0) - \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} - 1 \implies y'(0) - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \implies y'(0) = 0 \] 故\( f'(0) = 0 \)，\( x=0 \)是驻点，可能为极值点。 #### **计算\( f''(0) \)** 对微分方程两边求导，得二阶导数关系： \[ y'' - P'(x)y - P(x)y' = \frac{1}{2}e^x \] - 先求\( P'(0) \)： - 左导数（\( x \leq 0 \)时\( P(x) = \frac{1}{2} - x \)）：\( P'_-(0) = -1 \)。 - 右导数（\( 0 < x < 1 \)时\( P(x) = x^2 - x + \frac{1}{2} \)）：\( P'_+(0) = 2x - 1 \big|_{x=0} = -1 \)。 故\( P'(0) = -1 \)。 - 代入\( x=0 \)处的二阶导数方程： 已知\( y(0) = 1 \)，\( y'(0) = 0 \)，\( P(0) = \frac{1}{2} \)，\( P'(0) = -1 \)，则： \[ y''(0) - P'(0)y(0) - P(0)y'(0) = \frac{1}{2}e^0 \] 代入得： \[ y''(0) - (-1) \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{1}{2} \implies y''(0) + 1 = \frac{1}{2} \implies y''(0) = -\frac{1}{2} < 0 \] ### **结论** - \( f'(0) = 0 \)且\( f''(0) < 0 \)，根据极值的第二充分条件，\( x=0 \)处\( f(x) \)取极大值。 **答案：（A）**

\(\begin{pmatrix}-1&&\\&1&\\&&1\end{pmatrix}\)。 解析：先确定\( Ax = 0 \)的基础解系，得出\( A \)对应特征值\( \lambda = 0 \)的特征向量，再由非齐次解得出\( A \)的特征值，进而得到\( A + E \)的特征值，根据合同矩阵特征值正负惯性指数相同判断 。

3。 解析：由\( A \neq O \)得\( r(A) \geq 1 \)，由\( A^2 = O \)得\( r(A) + r(A) \leq 3 \)，故\( r(A) = 1 \)，进而得\( r(A^T A) = r(A^T b) = r(A) = 1 \)，根据非齐次线性方程组解向量个数公式\( 3 - r(A^T A) + 1 = 3 \) 。

\( 3\beta + \alpha_1,5\beta + \alpha_2,\beta + \alpha_3 \)。 解析：方法一，假设存在不全为零的数使线性组合为零，结合已知条件\(\alpha_1 - \alpha_2 + 2\alpha_3 = 0\)，可取\( k_1 = 1,k_2 = - 1,k_3 = 2 \)，找到使线性组合为零的系数；方法二，对向量组作变换，得出线性相关结论 。

\(\frac{1}{3}(1 + e^{-1} - 2e^{-2})\)。 解析：先写出联合概率密度\( f(x,y) \)，再将\( P\{1 \lt \max(X,Y) \leq 2\} \)拆分为\( P\{1 \lt X \leq 2,X \geq Y\} + P\{1 \lt Y \leq 2,X \lt Y\} \)，分别计算二重积分得出结果 。

\(\frac{3}{2}\)。 解析：先求出总体\( X \)的分布函数，再分别求出\( T_1 \)和\( T_2 \)的概率密度，然后计算\( E(T_1) \)和\( E(T_2) \)，最后得出\( E(T_1 - T_2)=E(T_1)-E(T_2)=\frac{3}{2}\) 。

\( 1 - 2e^{-1} \)。 解析：利用样本方差与\(\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \bar{X})^2\)的关系，结合期望公式求出\( \lambda = 1 \)，再由泊松分布可加性知\(\sum_{i = 1}^{n}X_i \sim P(1)\)，最后计算概率\( P\left\{\sum_{i = 1}^{n}X_i \geq 2\right\}=1 - P\{Y = 0\} - P\{Y = 1\}=1 - 2e^{-1} \) 。

令\( F(u)=\int_0^u f(x)dx \)，将\( F(a) \)，\( f( - a) \)在\( x = 0 \)处展开，经过整理和利用连续函数的介值性，可证得存在\(\xi\in[ - a,a ]\)满足等式。

（Ⅰ）设\( F(x,y,z)=x^2 + y^2 + z^2 + yz - 1 \)，求曲面法向量\( n_1 = \{ 2x,2y + z,2z + y \} \)，由\( n_1\perp n \)得\( y + z = 0 \)，联立曲面方程得\( L \)的方程\(\begin{cases}y + z = 0\\x^2 + y^2 = 1\end{cases}\) 。

（Ⅱ）代入曲线方程，利用斯托克斯公式或化定积分求解，得曲线积分值为\(-\frac{\pi}{4}\) 。

（Ⅰ）由\( A(\boldsymbol{\alpha_1},\boldsymbol{\alpha_2},\boldsymbol{\alpha_3}) = (\boldsymbol{\alpha_1},\boldsymbol{\alpha_2},\boldsymbol{\alpha_3})\begin{pmatrix}2&1&0\\1&2&0\\1& - 1&3\end{pmatrix} \)，令\( P = (\boldsymbol{\alpha_1},\boldsymbol{\alpha_2},\boldsymbol{\alpha_3}) \)，\( B = \begin{pmatrix}2&1&0\\1&2&0\\1& - 1&3\end{pmatrix} \)，\( A \)与\( B \)相似，求\( |B - \lambda E| = 0 \)得特征值\(\lambda_1 = \lambda_2 = 3\)，\(\lambda_3 = 1\)，再求对应特征向量。

（Ⅱ）由\( A \)的特征值得\((A^2 - 4A + E)^{-1}\)的特征值，进而得\((A^2 - 4A + E)^{-1}=-\frac{1}{2}E\) 。

（Ⅰ）由\((X,Y)\)的联合密度\( f(x,y)=\frac{1}{2\pi}e^{-\frac{x^2 + y^2}{2}} \)，计算得\( P\{ R\leq1,\Theta\leq\frac{\pi}{2}\}=\frac{1}{4}(1 - e^{-\frac{1}{2}}) \) 。

（Ⅱ）先求分布函数\( F_{R,\Theta}(r,\theta) \)，再求偏导得联合密度\( f_{R,\Theta}(r,\theta)=\begin{cases}\frac{r}{2\pi}e^{-\frac{r^2}{2}}, & r\geq0,0\leq\theta\leq2\pi\\0, & 其他\end{cases} \)，进而求边缘密度\( f_R(r)=\begin{cases}re^{-\frac{r^2}{2}}, & r\geq0\\0, & 其他\end{cases} \)，\( f_\Theta(\theta)=\begin{cases}\frac{1}{2\pi}, & 0\leq\theta\leq2\pi\\0, & 其他\end{cases} \)，由\( f_{R,\Theta}(r,\theta)=f_R(r)f_\Theta(\theta) \)知\( R \)和\(\Theta\)相互独立。