评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生两次识别结果均为 \(\sqrt{2}\)，与标准答案完全一致。该极限的计算过程通常涉及 \(1^\infty\) 型未定式，通过取对数或利用重要极限 \(\lim_{x \to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}} = e\) 进行求解，最终结果为 \(\sqrt{2}\)。学生答案正确，因此得满分4分。

题目总分：4分

评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生两次识别结果均为 \(e^{-x}\sin x\)，与标准答案 \(e^{-x}\sin x\) 完全一致。该微分方程为一阶线性微分方程，其通解可通过常数变易法或积分因子法求得，再代入初始条件 \(y(0)=0\) 确定特解。学生的答案正确，且满足初始条件。因此，本题得分为4分。

题目总分：4分

评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生两次识别结果均为 \(\ln(\sqrt{2}+1)\)，与标准答案完全一致。根据题目要求，答案正确则给满分。因此，本题得4分。

题目总分：4分

评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

本题考察连续型随机变量的数学期望计算。根据定义，对于概率密度函数为 \( f(x) \) 的随机变量 \( X \)，其数学期望 \( E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx \)。题目中给出的概率密度函数是指数分布 \( f(x) = \lambda e^{-\lambda x} (x>0) \)，因此计算过程为： \[ E(X) = \int_{0}^{+\infty} x \cdot \lambda e^{-\lambda x} dx = \lambda \int_{0}^{+\infty} x e^{-\lambda x} dx. \] 该积分可通过分部积分法或查常见积分公式得到结果为 \( \frac{1}{\lambda} \)。标准答案为 \( \frac{1}{\lambda} \)。

学生作答的第一次识别结果为 \( \frac{1}{\lambda} \)，与标准答案完全一致。第二次识别结果为汉字“六”，这明显是图片识别过程中出现的误写（可能将手写体“1/λ”误识别为“六”）。根据“禁止扣分”规则第1条和第3条，由于存在一次识别结果正确，且另一次识别错误属于误写，应判定学生答案为正确。

因此，本题得分为满分4分。

题目总分：4分

评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生作答为“7/12”，与标准答案“$\frac{7}{12}$”在数学上完全等价。该填空题考查二重积分的计算，学生给出了正确的数值结果，表明其计算过程和思路正确。根据打分要求，思路正确且答案正确应给予满分。因此，本题得4分。

题目总分：4分

评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生答案为“0”。

首先，我们需要计算二次型的矩阵并确定其正惯性指数。二次型为：

\( f(x_{1},x_{2},x_{3}) = x_{1}^{2} + 3x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + 2x_{1}x_{2} + 2x_{1}x_{3} + 2x_{2}x_{3} \)

对应的对称矩阵为：

\( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)

计算矩阵 \( A \) 的特征值以确定惯性指数。特征多项式为：

\( |A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 1 & 1 \\ 1 & 3-\lambda & 1 \\ 1 & 1 & 1-\lambda \end{vmatrix} \)

通过计算（例如，将第二行减去第一行，或将第三行减去第一行），可得：

\( |A - \lambda I| = -\lambda(\lambda - 1)(\lambda - 4) \)

因此，特征值为 \( \lambda_1 = 0, \lambda_2 = 1, \lambda_3 = 4 \)。

正特征值的个数为2（即1和4），所以正惯性指数为2。

标准答案为2，而学生答案为0，这是一个完全错误的答案。因此，本题得分为0分。

题目总分：0分

评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

本题满分10分，学生作答得0分。

理由：

1. 核心错误：学生将题目中的分母 \(x^{3a}\) 误写为 \(x^{\alpha}\)，这是一个根本性的错误，改变了题目的条件和结构。因此，后续基于 \(\alpha\) 的所有推导和分析，无论逻辑如何，都与原题无关，属于完全错误的解答。
2. 逻辑与计算过程：即使忽略符号误写，学生推导出的结论 \(\alpha \in (0, 1)\) 也与标准答案 \(\frac{1}{3} < a < 1\) 不符。在 \(x \to 0^+\) 的极限分析中，学生仅得出 \(\alpha > 0\)，而标准答案通过洛必达法则和等价无穷小代换得到了更精确的条件 \(a < 1\)。在 \(x \to +\infty\) 的极限分析中，学生仅得出 \(\alpha - 1 > 0\)（即 \(\alpha > 1\)），这与之前得到的 \(\alpha > 0\) 合并后应为 \(\alpha > 1\)，但学生却错误地综合为 \(\alpha \in (0, 1)\)，存在明显的逻辑矛盾。因此，整个解答过程存在多处严重的逻辑错误和计算错误。
3. 结论：由于解答基于错误的表达式，且推导过程存在矛盾，最终答案错误，故本题不能得分。

题目总分：0分

评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

本题要求求极值、凹凸区间和拐点，学生作答给出了两个识别结果。第一个识别结果中，一阶导数和二阶导数计算正确，极值点判断正确，但二阶导数值计算有误（应为 \(\frac{4t}{(t^2+1)^3}\)，代入 \(t=1\) 得 \(\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)，代入 \(t=-1\) 得 \(-\frac{1}{2}\)，与标准答案一致，此处不扣分），极值点坐标计算正确，拐点坐标计算正确，凹凸区间判断正确，但将凹凸区间用 \(x\) 区间表示时，错误地将 \(t\) 与 \(x\) 的单调关系直接对应为 \(x\) 区间（实际上 \(x\) 关于 \(t\) 单调递增，所以 \(t<0\) 对应 \(x<\frac{1}{3}\)，\(t>0\) 对应 \(x>\frac{1}{3}\)，学生第一个识别结果中写出的 \(x\) 区间是正确的，但理由中“\(t\in(0,+\infty)\)即\(x\in(\frac{1}{3},+\infty)\)”是正确的对应，不扣分）。第二个识别结果中，一阶导数和二阶导数计算正确，但极值点坐标计算错误（使用了积分方法且积分上下限错误，导致坐标错误），拐点坐标计算也错误。根据评分要求，两次识别中只要有一次正确即可不扣分。第一个识别结果整体正确，仅 \(x\) 区间表述在理由中略有瑕疵但不影响核心结论，因此扣1分。得9分。

题目总分：9分

评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答分为两次识别结果，但两次结果本质相同，均存在关键错误。具体分析如下：

第一步求一阶偏导数 \(\frac{\partial z}{\partial x}\) 和 \(\frac{\partial z}{\partial y}\) 时，第一次识别结果中 \(\frac{\partial z}{\partial x} = yf_{1}' + yg'(x)f_{2}'\) 正确，\(\frac{\partial z}{\partial y} = xf_{1}' + g(x)f_{2}'\) 正确。第二步求二阶混合偏导数 \(\frac{\partial^{2} z}{\partial x\partial y}\) 时，学生选择对 \(\frac{\partial z}{\partial x}\) 再对 \(y\) 求偏导，思路正确。但在具体计算中，学生写出了错误且混乱的表达式（第一次识别结果中出现了重复项和错误项，第二次识别结果中表达式为 \(\frac{\partial^{2}z}{\partial x\partial y}=f_{1}'+g(x)f_{2}'+yf_{11}''+yg(x)f_{12}''+xyf_{21}''+xyg(x)f_{22}''\)），该表达式存在逻辑错误：对 \(\frac{\partial z}{\partial x} = yf_{1}' + yg'(x)f_{2}'\) 关于 \(y\) 求偏导时，应将 \(f_1'\) 和 \(f_2'\) 视为关于中间变量 \(u=xy\) 和 \(v=yg(x)\) 的函数，因此对 \(y\) 求导时，\(f_1'\) 和 \(f_2'\) 本身也要求导（链式法则）。学生表达式中的 \(g(x)f_{2}'\) 项是凭空多出的，且 \(f_{11}'', f_{12}'', f_{21}'', f_{22}''\) 的系数完全错误，这表明学生对多元复合函数求导的链式法则掌握不牢固，导致了根本性的计算逻辑错误。

尽管后续正确利用了 \(g'(1)=0\) 和 \(g(1)=1\) 的条件，但由于二阶偏导表达式本身错误，代入后得到的结果 \(\left.\frac{\partial^{2}z}{\partial x\partial y}\right|_{x = 1,y = 1}=f_{1}'+f_{11}''+f_{12}''\) 也是错误的（标准答案为 \(f_{1}'(1,1)+ f_{11}''(1,1)\)）。

考虑到本题主要考查复合函数二阶偏导的计算，学生的核心计算步骤出现严重逻辑错误，导致最终答案错误。但思路框架（先求一阶导，再求混合导，利用极值条件）正确，且一阶偏导计算正确。根据评分应体现主要步骤分的原则，扣除主要错误分值。本题满分10分，给予 4分。

题目总分：4分

评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答存在根本性逻辑错误。题目给出的条件是 \(\frac{d\alpha}{dx} = \frac{dy}{dx}\)，学生直接将其积分得到 \(\alpha = y + C\)，这是错误的。因为 \(\frac{d\alpha}{dx}\) 和 \(\frac{dy}{dx}\) 都是关于 \(x\) 的函数，对等式 \(\frac{d\alpha}{dx} = \frac{dy}{dx}\) 积分，得到的是 \(\alpha = y + C\) 吗？这只有在将 \(y\) 视为自变量时才成立，但这里 \(y\) 是 \(x\) 的函数，所以积分应为 \(\alpha = y + C\) 吗？实际上，对 \(\frac{d\alpha}{dx} = \frac{dy}{dx}\) 关于 \(x\) 积分，得到的是 \(\alpha = y + C\)，但这里 \(\alpha\) 和 \(y\) 都是 \(x\) 的函数，所以这个积分在数学上是正确的。然而，学生后续的推导基于 \(\alpha = y + \frac{\pi}{4}\)，这实际上跳过了建立正确微分方程的关键步骤。标准答案中，通过 \(\tan \alpha = y'\) 和 \(\frac{d\alpha}{dx} = y'\) 推导出 \(y'' = y' + (y')^3\)，这是一个二阶微分方程。学生直接从 \(\frac{d\alpha}{dx} = \frac{dy}{dx}\) 积分得到 \(\alpha = y + C\)，并利用初始条件确定常数，这相当于假设了 \(\alpha\) 和 \(y\) 之间存在线性关系，但题目条件并没有直接给出这个关系，这个关系是需要通过微分方程推导出来的。学生的做法本质上是将 \(\frac{d\alpha}{dx} = \frac{dy}{dx}\) 视为可分离变量的微分方程 \(\frac{d\alpha}{dy} = 1\)，从而得到 \(\alpha = y + C\)。但这里 \(\frac{d\alpha}{dx} = \frac{dy}{dx}\) 不能直接推出 \(\frac{d\alpha}{dy} = 1\)，因为 \(\frac{d\alpha}{dy} = \frac{d\alpha/dx}{dy/dx} = \frac{y'}{y'} = 1\)（当 \(y' \neq 0\) 时），这实际上是成立的！所以学生的这一步推导在数学上是可以成立的，前提是 \(y' \neq 0\)。然而，学生后续的推导中，从 \(\alpha = y + \frac{\pi}{4}\) 和 \(\tan \alpha = y'\) 得到 \(y' = \tan(y + \frac{\pi}{4})\)，这与标准答案中解一阶方程后得到的结果一致。但是，学生没有经过解二阶微分方程的过程，而是直接得到了这个一阶方程。虽然最终得到的一阶方程是正确的，但推导过程存在逻辑跳跃，且没有正确利用 \(\frac{d\alpha}{dx} = \frac{dy}{dx}\) 与 \(\tan \alpha = y'\) 的关系来建立关于 \(y\) 的微分方程。此外，学生的最终答案 \(\ln|\sin(y + \frac{\pi}{4})| = x - \frac{1}{2}\ln2\) 是隐函数形式，而标准答案是显函数形式 \(y = \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}e^x) - \frac{\pi}{4}\)。学生的隐式答案可以通过化简得到显式答案，但学生没有进行这一步。考虑到学生的主要思路（得到 \(y' = \tan(y + \frac{\pi}{4})\)）是正确的，且最终得到的隐式解与标准答案等价，但推导过程存在不严谨之处（直接积分得到 \(\alpha = y + C\) 虽可解释但非标准推导），且没有给出显式解。根据打分要求，逻辑错误需要扣分。因此，扣除一定分数。

得分：6分（满分10分）

题目总分：6分

评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分5分）

学生作答中，第一部分证明 \(\frac{1}{n+1} < \ln(1+\frac{1}{n}) < \frac{1}{n}\)。

1. 学生首先写出 \(\ln(1+\frac{1}{n}) = \ln(1+n) - \ln n\)，这一步正确但后续变形 \(\ln\frac{1}{n} - \ln\frac{1}{n+1}\) 有误（应为 \(\ln\frac{n+1}{n}\)），不过不影响后续证明思路。

2. 学生通过构造函数 \(f(x)=x-\ln(1+x)\) 来证明右边不等式 \(\ln(1+\frac{1}{n}) < \frac{1}{n}\)。求导 \(f'(x)=\frac{x}{x+1}\) 有误（正确应为 \(f'(x)=1-\frac{1}{1+x}=\frac{x}{1+x}\)，但学生写成了 \(\frac{x}{x+1}\)，这可能是识别或笔误，且不影响符号判断，因为当 \(x>0\) 时 \(\frac{x}{x+1}>0\)，但严格来说 \(f'(x)=\frac{x}{1+x}\) 与 \(\frac{x}{x+1}\) 相同，这里不扣分）。学生说明当 \(x\in[0,+\infty)\) 时 \(f'(x)\ge 0\)，且 \(f(0)=0\)，所以 \(x>0\) 时 \(f(x)>0\)，即 \(x > \ln(1+x)\)，代入 \(x=\frac{1}{n}\) 得到右边不等式。此部分逻辑正确。

3. 证明左边不等式时，学生构造函数 \(g(x)=x+\ln(1-x)\)，并求导 \(g'(x)=\frac{x}{x-1}\)，这里求导错误（正确应为 \(g'(x)=1-\frac{1}{1-x}=\frac{x}{x-1}\)，实际上 \(g'(x)=\frac{x}{x-1}\) 是正确的，因为 \(1-\frac{1}{1-x}=\frac{1-x-1}{1-x}=\frac{-x}{1-x}=\frac{x}{x-1}\)，学生写对了）。然后学生分析当 \(x\in[0,1)\) 时 \(g'(x)<0\)，且 \(g(0)=0\)，所以 \(g(x)\le 0\)，即 \(x+\ln(1-x)\le 0\)，即 \(\ln(1-x)\le -x\)。但学生最后代入的是 \(x=\frac{1}{n+1}\)，得到 \(\frac{1}{n+1}+\ln(1-\frac{1}{n+1})<0\)，即 \(\frac{1}{n+1}<\ln(1+\frac{1}{n})\)（因为 \(\ln(1-\frac{1}{n+1})=\ln\frac{n}{n+1}=-\ln(1+\frac{1}{n})\)？这里需要检查：\(\ln\frac{n}{n+1}=\ln(1-\frac{1}{n+1})\)，而 \(\ln(1+\frac{1}{n})=\ln\frac{n+1}{n}\)，两者互为相反数吗？实际上 \(\ln\frac{n}{n+1}=-\ln\frac{n+1}{n}=-\ln(1+\frac{1}{n})\)，所以 \(\frac{1}{n+1}+\ln\frac{n}{n+1}<0\) 等价于 \(\frac{1}{n+1}-\ln(1+\frac{1}{n})<0\)，即 \(\frac{1}{n+1}<\ln(1+\frac{1}{n})\)。学生推理正确。

4. 整体证明思路正确，但过程中有一些表述不严谨（如 \(f'(x)=\frac{x}{x+1}\) 的写法，以及 \(g(x)\) 的区间分析），但核心步骤和结论正确。根据标准答案，证明该不等式的方法不唯一，学生方法正确，应给满分。

得分：5分（满分5分）。

（Ⅱ）得分及理由（满分5分）

学生作答中，第二部分证明数列 \(\{a_n\}\) 收敛。

1. 学生计算 \(a_{n+1}-a_n = \frac{1}{n+1} - \ln(1+\frac{1}{n})\)，并利用（Ⅰ）中结论得到 \(a_{n+1}-a_n < 0\)，从而说明数列单调递减。这一步正确。

2. 但是，学生只证明了单调递减，没有证明数列有下界。根据单调有界准则，要证明收敛必须同时证明有界（至少有一个下界）。学生作答中完全没有提及有下界的证明，因此证明不完整。

3. 标准答案中给出了下界证明：\(a_n > \ln\frac{n+1}{n} > 0\)，从而有下界0。学生缺失这部分，属于重大逻辑不完整。

4. 因此，该部分只能得到部分分数。考虑到学生正确证明了单调递减，但缺少有界性证明，扣去3分。

得分：2分（满分5分）。

题目总分：5+2=7分

评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分5.5分）

学生答案中容积计算思路正确，采用了旋转体体积的“圆盘法”或“柱壳法”的变体（对每个高度y的圆面积进行积分），并正确划分了积分区间和半径表达式。最终计算结果与标准答案一致，为 \(\frac{9}{4}\pi\)。虽然书写形式与标准答案略有不同（标准答案直接对面积积分，学生先对x积分再乘2π，本质等价），但思路和结果均正确，不扣分。因此本题得满分5.5分。

（Ⅱ）得分及理由（满分5.5分）

学生计算功的思路正确：将水抽出需克服重力做功，功的微元为 \(dm \cdot g \cdot h = \rho g \cdot dV \cdot (2-y)\)，其中(2-y)是抽到顶部（y=2）的竖直位移。学生正确写出了积分结构，并区分了上下两部分的积分区域和半径表达式。然而，最终计算结果与标准答案 \(\frac{27}{4}\pi \times 10^3 g \approx 21.20575 \times 10^3 g\) 不符，学生结果为 \(3.375 \times 10^3 g\)，存在明显的计算错误。根据打分要求，逻辑错误需要扣分。由于思路完全正确，仅计算错误，扣除部分分数。扣分幅度：计算错误导致结果错误，扣除该小题分数的约40%-50%，即扣2.5分。因此本题得分为 5.5 - 2.5 = 3分。

题目总分：5.5+3=8.5分

评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分5分）

学生作答中，第1次识别与第2次识别在（Ⅰ）部分思路基本一致。学生通过将 \((\beta_1, \beta_2, \beta_3 | \alpha_2)\) 作初等行变换，得到 \(a-5=0\)，从而 \(a=5\)。这里逻辑上存在不严谨之处：题目条件是“\(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) 不能由 \(\beta_1, \beta_2, \beta_3\) 线性表示”，学生直接利用 \(\alpha_2\) 在增广矩阵中推导，虽然最终结果正确，但推理过程不够完整（未说明为何由“不能表示”推出系数矩阵秩小于3，也未说明为何选取 \(\alpha_2\) 作为检验向量）。不过，由于最终结果与标准答案一致，且计算过程正确，可以认为主要思路正确。考虑到推理跳跃，扣1分。

得分：4分

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

学生通过求解线性方程组 \((\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 | \beta_1)\) 得到 \(\beta_1\) 的表示，并声称“同理可得” \(\beta_2\) 和 \(\beta_3\) 的表示。实际上，学生给出的 \(\beta_2\) 和 \(\beta_3\) 的系数与标准答案一致，说明计算正确。但学生没有展示对 \(\beta_2\) 和 \(\beta_3\) 的求解过程（仅写“同理可得”），在考试中应展示完整计算或至少说明方法。不过，由于结果正确，且思路与标准答案一致（只是省略了中间步骤），不扣分。

得分：6分

题目总分：4+6=10分

评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

学生通过设实对称矩阵的未知元，利用给定矩阵方程建立方程组，解出矩阵 A 的大部分元素，并结合秩为 2 的条件得出 A。在特征值与特征向量部分，学生只求出了特征值 0 对应的特征向量 (0,1,0)^T，但未完整给出所有特征值与特征向量（缺少特征值 -1 和 1 及其对应特征向量）。因此，本小题应扣分。

扣分点：
1. 未明确写出特征值 -1 和 1 及其对应特征向量，只给出了特征值 0 的特征向量。
2. 特征值求解过程不完整（仅从 |λE-A|=0 得出 λ=0，未说明其他特征值）。
根据标准答案，特征值与特征向量应完整给出三个特征值及其对应特征向量，学生只完成了一部分，故扣 3 分。

得分：6 - 3 = 3 分

（Ⅱ）得分及理由（满分5分）

学生正确求出矩阵 A 为 \(\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}\)，与标准答案一致。虽然求解过程与标准答案不同（标准答案用相似对角化，学生用待定系数法），但思路正确且结果正确，不扣分。

得分：5 分

题目总分：3+5=8分