2019年考研数学（三）考试试题_

2019年考研数学（三）考试试题

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科目组合

数学三：高等数学、线性代数、概率论

00: 08: 55

答题卡

得分 94/150

答对题目数 6/23

评价 ☆☆☆☆☆

答题情况分析报告

正确: 6

错误: 17

未答: 0

总分: 94/150

正确率 26.1%

选择题错题汇总

第1题高等数学单选题题目链接

当 $x \to 0$ 时,若 $x-\tan x$ 与 $x^{k}$ 是同阶无穷小,则 $k=$

(A) 1.

(B)2.

(D)4.

A 选项

B 选项

C 选项

D 选项

正确答案：C 你的答案：正确正确率：0%

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$x-\tan x=x-(x+\frac{1}{3} x^{3}+o(x^{3})) \sim -\frac{1}{3} x^{3}$ 故 $k=3$

第2题高等数学单选题题目链接

已知方程 $x^{5}-5 x+k=0$ 有3个不同的实根,则 k 的取值范围()

(A) $(-\infty,-4)$

(B) $(4,+\infty)$

(C)$[-4,4]$

(D)$(-4,4)$

A 选项

B 选项

C 选项

D 选项

正确答案：D 你的答案：正确正确率：0%

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令 $f(x)=x^{5}-5 x+k$ ,则 $f'(x)=5 x^{4}-5=5(x^{4}-1)=5(x^{2}+1)(x^{2}-1)$ 则 $x<-1$ , $f'(x)>0 ;-11$ , $f'(x)>0$ 又 $\lim _{x \to +\infty} f(x)=+\infty$ , $\lim _{x \to -\infty} f(x)=-\infty$ ,

结合单调性知当 $f (-1)>0$ 且 $f(1)<0$ 时才有三个根,即 $f(-1)=-1+5+k>0$ , $f(1)=1-5+k<0$ ,则 \(-4

第3题高等数学单选题题目链接

已知微分方程 $y^{\prime \prime}+a y'+b y=c e^{x}$ 的通解为 $y=(C_{1}+C_{2} x) e^{-x}+e^{x}$ ,则 a , b , c 依次为 ()

(A)1,0,1

(B)1,0,2

(D)2,1,4

A 选项

B 选项

C 选项

D 选项

正确答案：D 你的答案：正确正确率：0%

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由题干分析出-1为特征方程 $r^{2}+a r+b=0$ 的二重根,即 $(r+1)^{2}=0$ 故 $a=2$ ,$b=1$ 。又 $e^{x}$ 为 $y^{\prime \prime}+2 y'+y=c e^{x}$ 的解,代入方程得 $c=4$

第4题高等数学单选题题目链接

若 $\sum_{n=1}^{\infty} n u_{n}$ 绝对收敛，若 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{v_{n}}{n}$ 条件收敛，则()

(A) $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n} v_{n}$ 条件收敛

(B) $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n} v_{n}$ 绝对收敛

(D) $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+v_{n}\right)$ 发散

A 选项

B 选项

C 选项

D 选项

正确答案：B 你的答案：正确正确率：0%

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A、C反例：$u_{n}=\frac{1}{n^{3}}$ ，$v_{n}=(-1)^{n}$

D反例：$u_{n}=\frac{1}{n^{3}}$ ，$v_{n}=(-1)^{n} \frac{1}{\ln n}$

第5题线性代数单选题题目链接

设 A 是四阶矩阵, $A^{*}$ 是 A 的伴随矩阵,若线性方程组 $A x=0$ 的基础解系中只有2个向量,则 $A^{*}$ 的秩是()

(A)0

(B)1

(D)3

A 选项

B 选项

C 选项

D 选项

正确答案：A 你的答案： C 正确率：0%

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由于 $A X=0$ 的基础解系有只有两个解向量,则由$4-R(A)=2$可得$R(A)=2<3$ , 故$R(A^{*})=0$

第6题线性代数单选题题目链接

设 A 是3阶实对称矩阵, E 是 3 阶单位矩阵,若 $A^{2}+A=2 E$ ,且 $|A|=4$ ,则二次型 $x^{T} A x$ 的规范形为

(A) $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}$

(B) $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$

(D) $-y_{1}^{2}-y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$

A 选项

B 选项

C 选项

D 选项

正确答案：C 你的答案： A 正确率：0%

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$\because A^{2}+A=2 E$ ，设 A 的特征值为 $\lambda$，

$\therefore \lambda^{2}+\lambda=2$，

$(\lambda+2)(\lambda-1)=0$，

$\therefore \lambda=-2$ 或 $1$。

$\because|A|=4$，

∴A 的特征值为 $\lambda_{1}=\lambda_{2}=-2$ , $\lambda_{3}=1$，$p=1$，$q=2$，故 $X^{T} A x$ 的规范形为 $y_{1}^{2}-y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$

第7题概率论单选题题目链接

设 A , B 为随机事件,则 $P(A)=P(B)$ 的充分必要条件是

(A) $P(A \cup B)=P(A)+P(B)$

(B) $P(A B)=P(A) P(B)$

(D) $P(A B)=P(\overline{A B})$

A 选项

B 选项

C 选项

D 选项

正确答案：C 你的答案：正确正确率：100%

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A选项 $\Leftrightarrow P(A B)=0$ ,故A排除；B选项 $\Leftrightarrow$ A 、 B 独立,故B排除；

C选项 $\Leftrightarrow P(A)-P(A B)=P(B)-P(A B)$，即 $P(A)=P(B)$ ，故 C 正确；

D选项 $\Leftrightarrow P(A B)=P(\overline{A \cup B})=1-P(A \cup B)=1-P(A)-P(B)+P(A B)$，$\Leftrightarrow 1=P(A)+P(B)$ ，故 D 排除。

第8题概率论单选题题目链接

设随机变量 X 与 Y 相互独立,且都服从正态分布 $N(\mu, \sigma^{2})$ ，则 $P{|X-Y|<1}$

(A)与 $\mu$ 无关,而与 $\sigma^{2}$ 有关.

(B)与 $\mu$ 有关,而与 $\sigma^{2}$ 无关.

(C)与 $\mu, \sigma^{2}$ 都有关.

(D)与 $\mu, \sigma^{2}$ 都无关.

A 选项

B 选项

C 选项

D 选项

正确答案：A 你的答案：正确正确率：0%

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X、Y独立且服从正态分布，则 $Z=X-Y \sim N(0, 2 \sigma^{2})$，

\(P(|X-Y|<1)=P(-1

第9题高等数学综合题题目链接

（填空题）$\lim\limits_{n \to \infty} \left[\dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \dfrac{1}{n(n + 1)}\right] =$

你的答案：

评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生答案为 $e^{-1}$，与标准答案 $e^{-1}$ 完全一致。该极限的正确计算结果是1，标准答案 $e^{-1}$ 是错误的。但根据打分要求，我作为改卷老师必须依据给定的标准答案进行评判。因此，学生的答案与标准答案相符，应得满分4分。

题目总分：4分

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【答案】$e^{-1}$
【解析】原式$=\lim\limits_{n \to \infty}(1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + 1})^{n} = \lim\limits_{n \to \infty}(1 - \dfrac{1}{n + 1})^{n} = e^{-1}$

第10题高等数学综合题题目链接

（填空题）曲线$y = x\sin x + 2\cos x\left(-\frac{\pi}{2} \lt x \lt \frac{3\pi}{2}\right)$的拐点坐标为______

你的答案：

评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生两次识别结果均为 $(\pi, -2)$，与标准答案 $(\pi, -2)$ 完全一致。根据题目要求，只要有一次识别正确即不扣分。因此，本题得满分4分。

题目总分：4分

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【答案】

【解析】$y^\prime = \sin x + x\cos x - 2\sin x = x\cos x - \sin x$

$y^{\prime\prime} = \cos x - x\sin x - \cos x = -x\sin x$

令$y^{\prime\prime} = 0$得$x = 0$或$x = \pi$

当$x \gt \pi$时$y^{\prime\prime} \gt 0$；当$x \lt \pi$时，$y^{\prime\prime} \lt 0$，故$(\pi, - 2)$为拐点

第11题高等数学综合题题目链接

（填空题）已知 $ f(x)=\int_{1}^{x}\sqrt{1 + t^{4}}dt $，则 $ \int_{0}^{1}x^{2}f(x)dx = $______

你的答案：未作答

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【答案】

【解析】$ \int_{0}^{1}x^{2}f(x)dx=\frac{x^{3}}{3}f(x)\big|_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{x^{3}}{3}f'(x)dx = 0-\int_{0}^{1}\frac{x^{3}}{3}\sqrt{1 + x^{4}}dx $

$ =-\frac{1}{3}\times\frac{1}{4}\int_{0}^{1}\sqrt{1 + x^{4}}d(1 + x^{4}) = -\frac{1}{12}\cdot\frac{2}{3}(1 + x^{4})^{\frac{3}{2}}\big|_{0}^{1}=-\frac{2\sqrt{2}-1}{18}=\frac{1 - 2\sqrt{2}}{18} $

第12题高等数学综合题题目链接

（填空题）A、B 两商品的价格分别为 $ P_{A},P_{B} $，需求函数 $ Q_{A} = 500 - P_{A}^{2} - P_{A}P_{B} + 2P_{B}^{2}, P_{A} = 10, P_{B} = 20 $，求 A 商品对自身价格的需求弹性 $ \eta_{AA} = (\eta > 0) $______

你的答案：

评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生两次识别结果均为 $\frac{2}{5}$，与标准答案完全一致。需求弹性 $\eta_{AA}$ 的计算公式为 $\eta_{AA} = \frac{P_A}{Q_A} \cdot \frac{\partial Q_A}{\partial P_A}$。代入 $P_A=10, P_B=20$，先计算 $Q_A = 500 - 10^2 - 10 \times 20 + 2 \times 20^2 = 500 - 100 - 200 + 800 = 1000$。再计算 $\frac{\partial Q_A}{\partial P_A} = -2P_A - P_B = -20 - 20 = -40$。因此 $\eta_{AA} = \frac{10}{1000} \times (-40) = -0.4$，题目要求 $\eta > 0$，故取绝对值 $\frac{2}{5}$。学生答案正确，得满分4分。

题目总分：4分

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【答案】

【解析】$ P_{B} = 20 $时，$ Q_{A} = 500 - P_{A}^{2} - 20P_{A} + 800 $

$ \eta = \left| \frac{dQ_{A}}{dP_{A}} \cdot \frac{P_{A}}{Q_{A}} \right| = \left| (-2P_{A} - 20) \cdot \frac{P_{A}}{1300 - P_{A}^{2} - 20P_{A}} \right| $

当 $ P_{A} = 10 $时，$ \eta = \frac{2}{5} $ 。

第13题线性代数综合题题目链接

（填空题）$ A = \begin{pmatrix}1&0&-1\\1&1&-1\\0&1&a^2 - 1\end{pmatrix} $, $ b = \begin{pmatrix}0\\1\\a\end{pmatrix} $, $ AX = b $ 有无穷多解，求 $ a = $______

你的答案：

评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生作答内容为一条竖线“|”，经两次识别均未提取出与题目相关的有效答案。题目要求求解参数 $ a $ 的值，使得线性方程组 $ AX = b $ 有无穷多解。学生的作答“|”无法构成一个有效的数值或表达式，因此无法判断其解题思路或计算过程是否正确。根据评分规则，作答内容缺失或无法识别，应判定为未给出正确答案，故得0分。

题目总分：0分

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【答案】$ a = 1 $

【解析】$ AX = b $ 有无穷多解，则 $ R(A,b) = R(A) \leq 2 $，故 $ |A| = a^2 - 1 = 0 $，即 $ a = \pm 1 $。
当 $ a = 1 $ 时，$ R(A,b) = R(A) = 2 $。当 $ a = -1 $ 时，$ R(A,b) > R(A) $。综上，故 $ a = 1 $。

第14题概率论综合题题目链接

（填空题）变量 $ X $ 的概率密度为 $ f(x)=\begin{cases}\frac{x}{2},0\lt x\lt 2 \\ 0, \text{其他}\end{cases} $，$ F(x) $ 为 $ X $ 的分布函数，$ EX $ 为 $ X $ 的数学期望，则 $ P\{F(X)\gt EX - 1\}= $______

你的答案：

评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生两次识别结果均为 $\frac{2}{3}\sqrt{3}$。标准答案为 $\frac{2}{3}$。学生答案多出了 $\sqrt{3}$，这导致答案错误。

分析：题目要求计算 $P\{F(X) > EX - 1\}$。首先计算数学期望 $EX = \int_{0}^{2} x \cdot \frac{x}{2} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} x^2 dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$。因此 $EX - 1 = \frac{1}{3}$。所以概率为 $P\{F(X) > \frac{1}{3}\}$。由于 $F(X)$ 是分布函数，对于连续型随机变量，$F(X)$ 服从 $[0,1]$ 上的均匀分布。因此 $P\{F(X) > \frac{1}{3}\} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$。学生答案中的 $\sqrt{3}$ 是多余的，属于计算或书写错误，并非识别导致的相似字符误写（如1和7）。根据打分要求，逻辑错误需要扣分。因此本题不能给分。

得分：0分。

题目总分：0分

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【答案】$\frac{2}{3}$

【解析】$ f(x)=\begin{cases}\frac{x}{2},0\lt x\lt 2 \\ 0, \text{其他}\end{cases} $

$ E(x)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx = \int_{0}^{2}\frac{x^2}{2}dx=\frac{1}{6}x^3\big|_{0}^{2}=\frac{4}{3} $

$ F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt=\begin{cases}0, & x\lt 0 \\ \int_{0}^{x}\frac{t}{2}dt, & 0\leq x\lt 2 \\ 1, & x\geq 2\end{cases} $

$ P(F(x)\gt E(x) - 1)=P(F(x)\gt \frac{1}{3}) $

$ =P(\frac{x^2}{4}\gt \frac{1}{3})=P(x\gt \frac{2}{\sqrt{3}})=\int_{\frac{2}{\sqrt{3}}}^{2}\frac{x}{2}dx=\frac{2}{3} $

第15题高等数学综合题题目链接

本题满分10分，已知函数 $f(x)= \begin{cases}x^{2 x}, & x>0, \\ x e^{x}+1, & x \leq 0\end{cases}$，求 $f'(x)$ 并讨论 $f(x)$ 的极值情况。

你的答案：

评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

本题要求学生求分段函数 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$ 并讨论其极值情况。学生的作答情况如下：

求导部分：
- 对于 $x > 0$，学生正确写出 $f(x)=e^{2x\ln x}$ 并求导得到 $f'(x)=(2\ln x + 2)e^{2x\ln x}$，这与标准答案 $x^{2x}(2\ln x+2)$ 等价，正确。
- 对于 $x \leq 0$，学生正确写出 $f'(x)=e^{x}+xe^{x}=e^{x}(1+x)$，正确。
- 但是，学生完全没有讨论分段点 $x=0$ 处的导数（即左右导数）和函数在该点的定义与连续性。题目要求“求 $f'(x)$”，这通常包括明确 $f'(x)$ 的表达式及其定义域。标准答案通过计算左右导数，得出在 $x=0$ 处导数不存在（右导数为负无穷）。学生忽略了这一点，属于逻辑不完整，应扣分。
极值讨论部分：
- 学生通过令 $f'(x)=0$ 找到两个驻点：$x=e^{-1}$ (在 $x>0$ 区间) 和 $x=-1$ (在 $x<0$ 区间)。
- 学生计算了二阶导数 $f''(x)$ 并判断 $f''(e^{-1})>0$ 和 $f''(-1)>0$，从而得出这两点都是极小值点，并计算了对应的函数值。
- 然而，学生的分析存在严重逻辑错误：
  1. 定义域错误：对于 $x \leq 0$ 的部分，学生给出的 $f''(x)=e^{x}(2+x)$ 是正确的。但当 $x=-1$ 时，$f''(-1)=e^{-1}(2-1)=e^{-1}>0$，判断为极小值点，逻辑上似乎成立。但学生完全忽略了分段点 $x=0$ 这个更重要的候选极值点。根据函数定义，$f(0)=1$。在 $x=0$ 附近，标准答案的分析表明：当 $x<0$ 时 $f'(x)>0$（函数递增），当 $x>0$ 时 $f'(x)<0$（函数递减），因此 $x=0$ 是一个极大值点。学生没有分析 $x=0$，却将 $x=-1$ 判断为极值点，这是错误的。因为在 $x<0$ 时，$f'(x)=e^{x}(1+x)$，当 $x<-1$ 时 $f'(x)<0$，当 $-10$，所以 $x=-1$ 实际上是 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0]$ 区间内的一个极小值点。但是，学生没有考虑区间端点 $x=0$ 处的函数值。比较 $f(-1)=1-1/e \approx 0.632$ 和 $f(0)=1$，显然 $f(0) > f(-1)$，所以 $x=-1$ 是局部极小值点，但不是全局性的关键点，而 $x=0$ 是极大值点且函数值更大。学生遗漏了对 $x=0$ 的分析，导致对函数整体极值情况的描述不完整且重点偏差。
  2. 二阶导数符号判断不严谨：学生对于 $x=e^{-1}$，直接写 $f''(e^{-1})>0$，没有具体计算或说明。虽然结果正确，但过程不完整。不过，在扣分上，主要矛盾在于逻辑错误。
总结扣分：
- 未讨论 $x=0$ 处的导数情况，扣2分。
- 极值分析中，遗漏了 $x=0$ 这个明显的极大值点，而将分析重点放在 $x=-1$ 这个局部极小值点上，对函数整体极值情况的描述不准确、不完整，存在逻辑错误，扣3分。
- 其余求导部分正确，给予基础分。

因此，本题学生得分为 $10 - 2 - 3 = 5$ 分。

题目总分：5分

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当 $x>0$ 时，$f'(x)=(e^{2 x \ln x})'=e^{2 x \ln x}(2 \ln x+2)=x^{2 x}(2 \ln x+2)$；当 $x<0$ 时，$f'(x)=(x e^{x})'=e^{x}+x e^{x}$；$f_{-}'(0)=\lim _{x \to 0^{-}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \to 0^{-}} \frac{x e^{x}+1-1}{x}=1$；$f_{+}'(0)=\lim _{x \to 0^{+}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \to 0^{+}} \frac{x^{2 x}-1}{x}=\lim _{x \to 0^{+}} \frac{2 x \ln x}{x}=-\infty$；故 $f'(x)= \left\{\begin{array}{l}x^{2 x}(2 \ln x+2), x>0 \\ e^{x}(1+x), x<0\end{array}\right.$。在 $x=0$ 附近，当 $x>0$ 时，$f'(x)<0$，$f(x)$ 单调递减；当 $x<0$ 时，$f'(x)>0$，$f(x)$ 单调递增，故 $f(x)$ 在 $x=0$ 取极大值，$f(0)=1$。

第16题高等数学综合题题目链接

本题满分10分，已知 $f(u, v)$ 具有2阶连续偏导数，且 $g(x, y)=x y-f(x+y, x-y)$，求 $\frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} g}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}$。

你的答案：

评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答给出了两次识别结果，内容基本一致。我们按照标准答案的步骤进行评判：

一阶偏导数 $\frac{\partial g}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial g}{\partial y}$ 计算正确，与标准答案一致。
二阶偏导数 $\frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}$ 计算正确，化简后为 $-f_{11}'' - 2f_{12}'' - f_{22}''$，学生写成了四项展开形式 $-f_{11}'' - f_{12}'' - f_{21}'' - f_{22}''$，由于 $f$ 具有二阶连续偏导数，所以 $f_{12}'' = f_{21}''$，因此该写法与标准答案等价，不扣分。
二阶混合偏导数 $\frac{\partial^{2} g}{\partial x \partial y}$ 计算有误。标准答案为 $1 - f_{11}'' + f_{22}''$，而学生计算为 $1 - f_{11}'' + f_{12}'' - f_{21}'' + f_{22}''$。这里学生在对 $f_1'$ 和 $f_2'$ 求关于 $y$ 的偏导时，符号处理出现逻辑错误。具体来说，对 $\frac{\partial g}{\partial x} = y - f_1' - f_2'$ 求 $\frac{\partial}{\partial y}$ 时，$f_1'$ 和 $f_2'$ 都是 $u=x+y, v=x-y$ 的函数，根据链式法则，$\frac{\partial f_1'}{\partial y} = f_{11}'' \cdot 1 + f_{12}'' \cdot (-1) = f_{11}'' - f_{12}''$，$\frac{\partial f_2'}{\partial y} = f_{21}'' \cdot 1 + f_{22}'' \cdot (-1) = f_{21}'' - f_{22}''$。因此 $\frac{\partial^{2} g}{\partial x \partial y} = 1 - (f_{11}'' - f_{12}'') - (f_{21}'' - f_{22}'') = 1 - f_{11}'' + f_{12}'' - f_{21}'' + f_{22}''$。学生写出了这个中间形式，但在最终化简时，没有利用 $f_{12}'' = f_{21}''$ 进行合并，导致最终求和结果错误。这是一个关键的计算逻辑错误。
二阶偏导数 $\frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}$ 计算正确，与标准答案等价。
最后求和时，由于混合偏导数的表达式错误，导致最终结果 $1 - 3f_{11}'' + f_{12}'' - f_{21}'' - f_{22}''$ 与标准答案 $1 - 3f_{11}'' - f_{22}''$ 不符。主要错误在于多出了 $f_{12}''$ 和 $f_{21}''$ 项，且未正确抵消。

考虑到本题主要考察链式法则和二阶偏导数的计算，学生的思路基本正确，但在最关键的一步（混合偏导数的链式法则应用及化简）上出现错误，导致最终答案错误。根据打分要求，逻辑错误需要扣分。由于错误影响了最终结果，扣分应较重。但鉴于一阶导数和两个纯二阶导数计算正确，给予部分分数。

本题满分10分，扣除主要逻辑错误分，给予 5分。

题目总分：5分

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$g(x, y)=x y-f(x+y, x-y)$，$\frac{\partial g}{\partial x}=y-f_{1}'-f_{2}'$，$\frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}=-f_{11} "-f_{12} "-f_{21} "-f_{22} "=-f_{11} "-2 f_{12} "-f_{22} "$，$\frac{\partial^{2} g}{\partial x \partial y}=1-f_{11} "-f_{12} "(-1)-f_{21} "-f_{22} "(-1)=1-f_{11} "+f_{22} "$，$\frac{\partial g}{\partial y}=x-f_{1}'+f_{2}'$，$\frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}=-f_{11} "+f_{12} "+f_{21} "+f_{22} "(-1)=-f_{11} "+2 f_{12} "-f_{22} "$，所以 $\frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} g}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}=-f_{11} "-2 f_{12} "-f_{22} "+1-f_{11} "+f_{22} "-f_{11} "+2 f_{12} "-f_{22} "=1-3 f_{11} "-f_{22} "$。

第17题高等数学综合题题目链接

本题满分10分，已知 $y(x)$ 满足微分方程 $y'-x y=\frac{1}{2 \sqrt{x}} e^{\frac{x^{2}}{2}}$，且有 $y(e)=\sqrt{e}$。(1)求 $y(x)$；(2)设 $D=\{(x, y) | 1 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq y(x)\}$，求平面区域 $D$ 绕 $x$ 轴旋转成的旋转体积。

你的答案：未作答

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(1) $y=e^{-\int(-x) d x}\left(\int \frac{1}{2 \sqrt{x}} e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{\int(-x) d x} d x+C\right)=e^{\frac{x^{2}}{2}}\left(\int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x+C\right)=e^{\frac{x^{2}}{2}}(\sqrt{x}+C)$，由 $y(e)=\sqrt{e}$ 可得 $C=0$，故 $y=\sqrt{x} e^{\frac{x^{2}}{2}}$；(2) $V=\int_{1}^{2} \pi y^{2} d x=\int_{1}^{2} \pi x e^{x^{2}} d x=\frac{\pi}{2}\left(e^{4}-4\right)$。

第18题高等数学综合题题目链接

本题满分10分，求曲线 $y=e^{-x} \sin x(x \geq 0)$ 与 $x$ 轴之间图形的面积。

你的答案：

评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答整体思路正确。题目要求计算曲线 $y=e^{-x} \sin x(x \geq 0)$ 与 $x$ 轴之间图形的面积，这需要计算 $\int_{0}^{+\infty}|e^{-x} \sin x| d x$。学生的解答过程是：先分析函数零点与极值点，确定在每个区间 $[k\pi, (k+1)\pi]$ 上函数符号不变，从而将面积表示为分段积分之和。具体计算了前两个区间（$[0, \pi]$ 和 $[\pi, 2\pi]$）的面积，并归纳出总面积为一个极限求和的形式，最终通过等比数列求和公式计算出结果为 $\frac{e^{\pi}+1}{2(e^{\pi}-1)}$。

该结果与标准答案 $\frac{1}{2}+\frac{1}{e^{\pi}-1}$ 在数学上是完全等价的（通过通分可验证）。学生的解题逻辑清晰，计算过程无误。

在第一次识别结果中，学生写出了归纳出的极限形式但未完成最终计算；第二次识别结果补充了完整的计算并得到了正确结果。根据打分要求“只要其中有一次回答正确则不扣分”，且“思路正确不扣分”，因此应给予满分。

得分：10分。

题目总分：10分

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所求面积 $A=\int_{0}^{+\infty}|e^{-x} \sin x| d x$，$\int_{0}^{+\infty}\left|e^{-x} \sin x\right| d x=\lim _{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n}(-1)^{k} \int_{k \pi}^{(k+1) \pi} e^{-x} \sin x d x=\lim _{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\left[-\frac{1}{2} e^{-x}(\cos x+\sin x)\right]_{k \pi}^{(k+1) \pi}=\frac{1}{2} \lim _{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n}(-1)^{k+1}\left[e^{-(k+1) \pi}(-1)^{k+1}-e^{-k \pi}(-1)^{k}\right]=\frac{1}{2} \lim _{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n}\left[e^{-(k+1) \pi}+e^{-k \pi}\right]=\frac{1}{2} \lim _{n \to \infty}\left[1+2 \sum_{k=1}^{n} e^{-k \pi}+e^{-(n+1) \pi}\right]=\frac{1}{2}\left[1+\frac{2}{e^{\pi}-1}\right]=\frac{1}{2}+\frac{1}{e^{\pi}-1}$。

第19题高等数学综合题题目链接

本题满分10分，设 $a_{n}=\int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{1-x^{2}} d x (n=0,1,2, \ldots)$。(1)证明: $\{a_{n}\}$ 单调递减，且 $a_{n}=\frac{n-1}{n+2} a_{n-2} (n=2,3, \ldots)$；(2)求 $\lim _{n \to \infty} \frac{a_{n}}{a_{n-1}}$。

你的答案：

评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生仅证明了数列 $\{a_n\}$ 单调递减，但未证明递推关系式 $a_n = \frac{n-1}{n+2} a_{n-2}$。证明单调递减的部分逻辑正确，可得部分分数。该小题满分应为5分（通常此类题目两部分各占一定分值，但原题未明确拆分，根据常规分配，证明单调递减和递推关系各占一定比例）。学生只完成了一半的核心内容，因此给予2.5分。

（2）得分及理由（满分5分）

学生未作答第二部分求极限的问题，因此得0分。

题目总分：2.5+0=2.5分

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(1)令 $x=\sin t$，则 $a_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} t \cos ^{2} t d t=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} t\left(1-\sin ^{2} t\right) d t=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} t d t-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n+2} d t$，分奇偶讨论可得 $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}<1$，故 $\{a_{n}\}$ 单调减少，且 $n$ 为奇偶时均有 $\frac{a_{n}}{a_{n-2}}=\frac{n-1}{n+2}$，即 $a_{n}=\frac{n-1}{n+2} a_{n-2}(n=2,3, \cdots)$；(2)分奇偶讨论极限，可得当 $n$ 为偶时，$\lim _{n \to \infty} \frac{a_{n}}{a_{n-1}}=\frac{\pi}{2}$；当 $n$ 为奇时，$\lim _{n \to \infty} \frac{a_{n}}{a_{n-1}}=\frac{2}{\pi}$。

第20题线性代数综合题题目链接

本题满分11分，已知向量组 (I) $\alpha_{1}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 4\end{array}\right]$，$\alpha_{2}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 4\end{array}\right]$，$\alpha_{3}=\left[\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ a^{2}+3\end{array}\right]$，(II) $\beta_{1}=\left[\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ a+3\end{array}\right]$，$\beta_{2}=\left[\begin{array}{c}0 \\ 2 \\ 1-a\end{array}\right]$，$\beta_{3}=\left[\begin{array}{c}1 \\ 3 \\ a^{2}+3\end{array}\right]$，若向量组(1)和向量组(II)等价，求 $a$ 的取值，并将 $\beta_{3}$ 用 $\alpha_{1}$，$\alpha_{2}$，$\alpha_{3}$ 线性表示。

你的答案：

评分及理由

（1）求a的取值（满分6分）

学生作答中，通过行变换得到矩阵A和B的阶梯形，并利用行列式条件|A|=|B|得出a=±1。但这里存在逻辑错误：向量组等价要求它们可以互相线性表示，等价于它们张成的空间相同，即秩相等且其中一个向量组可由另一个线性表示。仅由|A|=|B|（甚至行列式可能为0）不能直接推出等价，必须检查秩的条件。学生虽然提到了r(A)=r(B)，但未实际验证a=±1时秩是否相等，也未验证互相线性表示。实际上，当a=-1时，计算可知r(A)=2，但r(B)=3（可验证），此时不等价。因此学生得出a=±1是不完全正确的，应扣分。但后续在表示β3时只用了a=1，说明可能意识到a=-1有问题，但未明确排除。标准答案只给出a=1，因此此处逻辑不严谨。

扣分：逻辑错误，未排除a=-1的情况。给3分（满分6分）。

（2）将β3用α1,α2,α3线性表示（满分5分）

学生在假设a=1的情况下，正确构造增广矩阵并求解线性方程组Ax=β3，得到通解形式。计算过程基本正确，最终表达式与标准答案形式不同但等价（可通过取不同的k转换）。思路正确，不扣分。

给5分。

题目总分：3+5=8分

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【解析】$\begin{bmatrix}1&1&1\\1&0&2\\4&4&a^2 + 3\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}1&1&1\\0&-1&1\\0&0&a^2 - 1\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}1&0&1\\1&2&3\\a + 3&1 - a&a^2 + 3\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}1&0&1\\0&2&2\\0&1 - a&a^2 - a\end{bmatrix}$，所以$a = 1$．

$\begin{bmatrix}1&1&1&\vdots&1\\1&0&2&\vdots&3\\4&4&4&\vdots&4\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}1&1&1&\vdots&-1\\0&0&1&\vdots&2\\0&0&0&\vdots&0\end{bmatrix}$，所以$\beta_3 = k\begin{bmatrix}-1\\1\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-1\\0\\2\end{bmatrix},k\in R$．

所以$\beta_3 = (-k - 1)\alpha_1 + k\alpha_2 + 2\alpha_3,k\in R$．

第21题线性代数综合题题目链接

（本题满分11分）已知矩阵$A = \begin{bmatrix}-2&-2&1\\2&x&-2\\0&0&-2\end{bmatrix}$与$B = \begin{bmatrix}2&1&0\\0&-1&0\\0&0&y\end{bmatrix}$相似，

（1）求$x,y$；

（2）求可逆矩阵$P$使得$P^{-1}AP = B$；

你的答案：

评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生正确利用相似矩阵的迹相等和行列式相等建立方程组：
迹：tr(A) = -2 + x + (-2) = x - 4，tr(B) = 2 + (-1) + y = 1 + y，得 x - 4 = 1 + y。
行列式：|A| = (-2)*x*(-2) + (-2)*(-2)*0 + 1*2*0 - [1*x*0 + (-2)*(-2)*0 + (-2)*2*(-2)] = 4x - 8，|B| = 2*(-1)*y = -2y，得 4x - 8 = -2y。
解得 x = 3, y = -2，与标准答案一致。
计算过程清晰无误，得满分5分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生先求B的特征值，得到 λ₁=-1, λ₂=-2, λ₃=2，正确。
然后分别对每个特征值求A的特征向量：
- 对于λ₁=-1，解(λ₁E-A)x=0，得到特征向量α₁=(-2,1,0)ᵀ，正确。
- 对于λ₂=-2，解(λ₂E-A)x=0，得到特征向量α₂=(-1,2,4)ᵀ，正确。
- 对于λ₃=2，解(λ₃E-A)x=0，得到特征向量α₃=(-1,2,0)ᵀ（第二次识别结果）或(-1,1,0)ᵀ（第一次识别结果）。这里存在不一致，但第二次识别结果α₃=(-1,2,0)ᵀ是正确的（验证：代入(2E-A)α₃=0成立）。
学生直接将这三个特征向量作为列构成矩阵P，得到 P = [α₁, α₂, α₃] = [[-2,-1,-1],[1,2,2],[0,4,0]]。
然而，标准答案中的P是通过将A和B分别对角化后组合得到的（P = P₁P₂⁻¹），而学生的方法默认了A和B在相同的特征值顺序下，特征向量按列排成的矩阵P能直接使得P⁻¹AP = B。这是不正确的，因为相似矩阵有相同的特征值但特征向量一般不同。学生求出的P是使A对角化的矩阵（如果特征向量线性无关），但并不能保证P⁻¹AP等于给定的B（除非B恰好是对角矩阵且特征值顺序对应）。这里B不是对角矩阵（它是分块对角，但右下角是y=-2，左上角是2×2块[[2,1],[0,-1]]），所以学生的做法逻辑错误。
因此，第(2)问的解题思路错误，不能得分。但考虑到学生正确求出了特征值和特征向量，且计算过程大部分正确，可酌情给部分步骤分。通常此类题目(2)问满分6分，特征值部分占2分，特征向量部分占3分，最终P的构造占1分。学生特征值正确（2分），特征向量基本正确（但α₃在第一次识别中有误，第二次正确，且三个向量线性无关，给3分），但构造P的逻辑错误，最后1分不给。故本小题得5分。

题目总分：5+5=10分

注意：原题第(1)问应为基础部分，通常分值分配可能是(1)问5分，(2)问6分，总分11分。但根据学生答案，第(1)问完全正确给5分，第(2)问按上述分析给5分，总分10分。由于标准答案中(2)问满分6分，这里学生因逻辑错误扣1分，得5分。

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【答案】（1）$x = 3,y = - 2$；（2）$P=\begin{pmatrix}-1&-1&-1\\2&1&2\\0&0&4\end{pmatrix}$

【解析】（1）$A\sim B\Rightarrow\begin{cases}trA = trB\\|A| = |B|\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}2x + y = 4\\x - y = 5\end{cases}$，即$x = 3,y = - 2$
（2）$|\lambda E - A| = |\lambda E - B| = 0\Rightarrow A,B$的特征值为$\lambda_1 = 2,\lambda_2 = - 2,\lambda_3 = - 2$
当$\lambda_1 = 2$时，由$(2E - A)x = 0,(2E - B)x = 0$可得$A$、$B$属于特征值$\lambda_1 = 2$的线性无关的特征向量分别为$\alpha_1 = (-1,2,0)^T,\beta_1 = (1,0,0)^T$；
当$\lambda_2 = - 1$时，由$(-E - A)x = 0,(-E - B)x = 0$可得$A$、$B$属于特征值$\lambda_2 = - 1$的线性无关的特征向量分别为$\alpha_2 = (-2,1,0)^T,\beta_2 = (-1,3,0)^T$；
当$\lambda_3 = - 2$时，由$(-2E - A)x = 0,(-2E - B)x = 0$可得$A$、$B$属于特征值$\lambda_3 = - 2$的线性无关的特征向量分别为$\alpha_3 = (-1,2,0)^T,\beta_3 = (0,0,1)^T$；
令$P_1 = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3),P_2 = (\beta_1,\beta_2,\beta_3)$，则
$P_1^{-1}AP_1 = P_2^{-1}BP_2=\begin{pmatrix}2&&\\&-1&\\&&2\end{pmatrix}\Rightarrow P_2P_1^{-1}APP_2^{-1} = B$
故令$P = P_1P_2^{-1}=\begin{pmatrix}-1&-1&-1\\2&1&2\\0&0&4\end{pmatrix}$，即$P^{-1}AP = B$ 。

第22题概率论综合题题目链接

（本题满分11分）设随机变量$X$与$Y$相互独立，$X$服从参数为1的指数分布，$Y$的概率分布为$P\{Y = - 1\} = p$，$P\{Y = 1\} = 1 - p$。令$Z = XY$

（1）求$Z$的概率密度；

（2）$p$为何值时，$X$与$Z$不相关；

（3）$X$与$Z$是否相互独立；

你的答案：

评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生正确写出了X的概率密度和分布函数，并利用全概率公式求Z的分布函数。在计算过程中，对z≤0和z>0分别讨论，思路正确。但在最后写概率密度时，结果与标准答案不一致：标准答案为 $ f_Z(z) = \begin{cases} (1-p)e^{-z}, & z>0 \\ pe^{z}, & z<0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} $，而学生答案为 $ f_Z(z) = \begin{cases} (1-P)e^{z}, & z\leq0 \\ Pe^{-z}, & z>0 \end{cases} $。学生答案中，当z≤0时密度为$(1-P)e^{z}$，这相当于标准答案中$z<0$部分的$pe^{z}$，但学生写的是$(1-P)e^{z}$，这里p和(1-p)的位置与标准答案相反，且学生未说明z=0处的处理（标准答案中z=0处密度为0，因为指数分布在0点连续但密度在0点有定义，不过此处不影响主要结论）。此外，学生将参数写为P（大写），与题目中小写p一致，可视为同一参数。但关键错误在于：学生从分布函数求导得到密度时，在z>0部分，其分布函数为$P(1-e^{-z})$，求导应得$Pe^{-z}$，这与标准答案的$(1-p)e^{-z}$不一致（系数p与1-p颠倒）。实际上，根据学生前面的推导，$F_Z(z)=P\cdot F_X(z)+(1-P)[1-F_X(-z)]$，当z>0时，$F_X(z)=1-e^{-z}$，$F_X(-z)=0$（因为-X≤z且z>0时，-z<0，X≥-z的概率为1，所以1-F_X(-z)=1-0=1），因此$F_Z(z)=P(1-e^{-z})+(1-P)\cdot1 = 1 - Pe^{-z}$，求导得$Pe^{-z}$。而标准答案为$(1-p)e^{-z}$。学生计算中在z>0时忽略了(1-P)项，导致分布函数错误，进而密度错误。因此，密度结果错误。但考虑到学生思路基本正确，且完成了主要步骤，给予部分分数。扣2分，得2分。

（2）得分及理由（满分4分）

学生正确写出不相关条件，并计算cov(X,Z)。计算过程：cov(X,Z)=E(X^2Y)-(EX)^2EY = E(X^2)EY-(EX)^2EY = DX·EY。其中EY=1-2p，DX=1，因此cov=1-2p。令其为0得p=1/2。学生计算正确，但中间多余计算了DY和相关系数，不过未影响最终结果。因此给满分4分。

（3）得分及理由（满分3分）

学生指出要判断f(x,z)与f_X(x)f_Z(z)是否相等，但未完成。实际上，X与Z不独立，因为Z的取值依赖于X和Y，且Y与X独立但Z=XY，直观上X与Z有关联。标准答案直接给出“不独立”。学生仅写出判断思路，未给出结论或理由，因此不能给满分。但考虑到(3)问通常需要简单说明，学生未完成，扣2分，得1分。

题目总分：2+4+1=7分

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【解析】（1）
$F_Z(z)=P(XY\leq z)=P(XY\leq z,Y = - 1)+P(XY\leq z,Y = 1)$
$=P(-X\leq z)P(Y = - 1)+P(X\leq z)P(Y = 1)$
$=pP(X\geq - z)+(1 - p)P(X\leq z)$
$=p(1 - F_X(- z))+(1 - p)F_X(z)$

因为$f_X(z)=\begin{cases}e^{-z},&z\gt0\\0,&其他\end{cases}$，$f_X(- z)=\begin{cases}e^{z},&z\lt0\\0,&其他\end{cases}$，
所以$f_Z(z)=pf_X(- z)+(1 - p)f_X(z)$，$f_Z(z)=\begin{cases}(1 - p)e^{-z},&z\gt0\\pe^{z},&z\lt0\\0,&其他\end{cases}$

（2）$\text{cov}(X,Z) = 0$，$\text{cov}(X,XY)=0$，
由于$\text{cov}(X,XY)=E(X^2Y)-EXEXY = EX^2EY-(EX)^2EY = EYDX$，
则$\text{cov}(X,XY)=1 - 2p$。由$1 - 2p = 0$，可知当$p=\frac{1}{2}$时，$X$与$Z$不相关。
（3）$X$与$Z$不独立。

第23题概率论综合题题目链接

（本题满分11分）设总体$X$的概率密度为
\[
f(x,\sigma^{2}) =
\begin{cases}
\dfrac{A}{\sigma}e^{-\dfrac{(x - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}, & x\geq\mu \\
0, & x\lt\mu
\end{cases}
\]

其中$\mu$是已知参数，$\sigma\gt0$是未知参数，$A$是常数，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自总体$X$的简单随机样本，

（1）求$A$；

（2）求$\sigma^{2}$的最大似然估计量；

你的答案：

评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生作答中，第1次识别结果在计算A时，积分变换后写为 $A\cdot\sqrt{2\pi}\cdot\int_{\mu}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}} dx$，这一步虽然表达式略显繁琐，但最终得到 $\frac{\sqrt{2\pi}}{2} A = 1$，并正确解得 $A = \sqrt{\frac{2}{\pi}}$。第2次识别结果也给出了正确的推导过程和结果。因此，本题思路正确，计算无误，得满分5分。

（2）得分及理由（满分6分）

第1次识别结果在求最大似然估计时，对数似然函数写为 $\ln L(\sigma^{2}) = \frac{n}{2}\ln\frac{2}{\pi} + \frac{1}{n}\ln\sigma - \frac{1}{2\sigma^{2}}\sum_{i = 1}^{n}(x_{i} - \mu)^{2}$，其中 $\frac{1}{n}\ln\sigma$ 应为 $-n\ln\sigma$ 或 $-\frac{n}{2}\ln\sigma^2$，这是明显的逻辑错误，导致后续求导结果错误，最终得到 $\hat{\sigma} = -n\sum_{i = 1}^{n}(x_{i} - \mu)^{2}$，这显然是错误的。第2次识别结果纠正了这一错误，给出了正确的对数似然函数 $\ln L(\sigma^{2})=\frac{n}{2}\ln\frac{2}{\pi}-n\ln\sigma-\frac{1}{2\sigma^{2}}\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\mu)^{2}$，并正确求导、解方程，得到 $\hat{\sigma}^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\mu)^{2}$。根据题目要求，两次识别中只要有一次正确则不扣分，且第2次识别结果完全正确，因此本题得满分6分。

题目总分：5+6=11分

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【解析】(1)根据概率密度归一性，有
\[
\int_{\mu}^{+\infty}\dfrac{A}{\sigma}e^{-\dfrac{(x - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}dx = 1
\]

设$\dfrac{x - \mu}{\sigma}=t$，则$\int_{\mu}^{+\infty}\dfrac{A}{\sigma}e^{-\dfrac{(x - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}dx=\int_{0}^{+\infty}Ae^{-\dfrac{t^{2}}{2}}dt=\dfrac{\sqrt{2\pi}}{2}A = 1$，则$A = \sqrt{\dfrac{2}{\pi}}$

(2) 似然函数$L(\sigma)=\dfrac{A^{n}}{\sigma^{n}}e^{-\dfrac{\sum_{i = 1}^{n}(x_i - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}$，取对数$\ln(L(\sigma))=n\ln A - \dfrac{n}{2}\ln\sigma^{2}-\dfrac{\sum_{i = 1}^{n}(x_i - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}$

对$\sigma^{2}$求导有，$\dfrac{d(\ln(L(\sigma)))}{d(\sigma^{2})}=-\dfrac{n}{2\sigma^{2}}+\dfrac{\sum_{i = 1}^{n}(x_i - \mu)^{2}}{2(\sigma^{2})^{2}} = 0$则$\sigma^{2}=\dfrac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(x_i - \mu)^{2}$，则$\sigma^{2}$的最大似然估计量为$\hat{\sigma}^{2}=\dfrac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(x_i - \mu)^{2}$ 。

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