已知当$x \to 0$时，$ax^{2}+bx+\arcsin x$与$\sqrt[3]{1+x^{2}}-1$时等价无穷小，则（）

（A）$a=\frac{1}{3},b=-1$  （B）$a=\frac{1}{3},b=1$

（C）$a=\frac{2}{3},b=-1$  （D）$a=\frac{2}{3},b=1$

设\( y_1(x) \)，\( y_2(x) \)是某2阶非齐次线性微分方程的两个特解。若常数\( \lambda,\mu \)使得\( 2\lambda y_1(x)+\mu y_2(x) \)是该方程的解，\( \lambda y_1(x)-2\mu y_2(x) \)是该方程对应的齐次方程的解，则

A. \( \lambda=\frac{1}{5},\mu=\frac{2}{5} \)

B. \( \lambda=\frac{2}{5},\mu=\frac{1}{5} \)

C. \( \lambda=\frac{1}{4},\mu=\frac{1}{2} \)

D. \( \lambda=\frac{1}{2},\mu=\frac{1}{4} \)

设函数\( z = z(x, y) \)由方程\( x - az = e^{y + az} \)（\( a \)为非零常数）确定，则

A. \( \frac{\partial z}{\partial x} - \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{a} \)

B. \( \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{a} \)

C. \( \frac{\partial z}{\partial x} - \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{1}{a} \)

D. \( \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{1}{a} \)

线密度为1的线段，\( x \)在\((-1,0)\)和\((1,0)\)之间，质量为\( m \)的质点在\((0,1)\)点，求质点对线段的引力

A. \( \int_{0}^{1}\frac{2Gmx}{(1+x^2)^{1/2}}\mathrm{d}x \)

B. \( \int_{0}^{1}\frac{2Gm}{(1+x^2)^{1/2}}\mathrm{d}x \)

C. \( \int_{0}^{1}\frac{2Gmx}{(1+x^2)^{3/2}}\mathrm{d}x \)

D. \( \int_{0}^{1}\frac{2Gm}{(1+x^2)^{3/2}}\mathrm{d}x \)

设\( f(x) \)在区间\([-1,1]\)上有定义，则有

A.当\( f(x) \)在（-1，0）单调递减，在（0，1）单调递增时，\( f(x) \)是极小值

B.当\( f(x) \)是极小值时，\( f(x) \)在（-1，0）单调递减，在（0，1）单调递增

C.当\( f(x) \)图形在\([-1,1]\)上是凹函数时，则\(\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\)在\([-1，1）\)单调递增

D.当\(\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\)单调递增时，则\( f(x) \)在\([-1,1]\)上为凹函数

已知函数 \( f(x)=\int_{1}^{x^{3}} \frac{e^{t}}{1+t^{2}}dt \)，\( f(x) \) 的反函数为 \( g(x) \)，则（ ）

（A）\( g(0)=1 \)，\( g'(0)=\frac{3}{2}e \)

（B）\( g(0)=1 \)，\( g'(0)=\frac{2}{3e} \)

（C）\( g(1)=0 \)，\( g'(1)=\frac{3}{2}e \)

（D）\( g(1)=0 \)，\( g'(1)=\frac{2}{3e} \)

设函数\( f(x,y) \)在区域\( D = \{(x,y)|0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\} \)上连续，且\( f(x,y) = f(y,x) \)，则
\(
\iint_D f(x,y)dxdy =
\)

A. \( 2\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \sum_{j=n+1-i}^n f\left(\frac{i}{n},\frac{j}{n}\right)\frac{1}{n^2} \)

B. \( \frac{1}{2}\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n f\left(\frac{i}{n},\frac{j}{n}\right)\frac{1}{n^2} \)

C. \( 2\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{2n} \sum_{j=1}^{2n+1-i} f\left(\frac{i}{2n},\frac{j}{2n}\right)\frac{1}{n^2} \)

D. \( \frac{1}{2}\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{2n} \sum_{j=1}^{i} f\left(\frac{i}{2n},\frac{j}{2n}\right)\frac{1}{n^2} \)

单位矩阵经过若干次行变换得到的矩阵为置换矩阵，$\boldsymbol{A}$为$n$阶置换矩阵，$\boldsymbol{A^*}$为$\boldsymbol{A}$的伴随矩阵，则下列正确的是

A. $\boldsymbol{A^*}$为置换矩阵

B. $\boldsymbol{A^{-1}}$为置换矩阵

C. $\boldsymbol{A^* = A^{-1}}$

D. $\boldsymbol{A^* = -A^{-1}}$

设矩阵$\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 3 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}$，$\boldsymbol{C} = \begin{pmatrix}
2 & 0 \\
1 & 1 \\
1 & 1 \\
a & b
\end{pmatrix}$。若存在矩阵$\boldsymbol{B}$满足$\boldsymbol{AB = C}$，则

A. $a = -1, b = -1$   B. $a = 2, b = 2$

C. $a = -1, b = 2$   D. $a = 2, b = -1$

设3阶矩阵$\boldsymbol{A、B}$满足$\boldsymbol{AB + BA = A^2 + B^2}$，且$\boldsymbol{A ≠ B}$则下列结论中错误的是

A. $\boldsymbol{(A - B)^3 = O}$

B. $\boldsymbol{A - B}$只有零特征值

C. $\boldsymbol{A}$和$\boldsymbol{B}$不能都是对角矩阵

D. $\boldsymbol{A - B}$只有一个线性无关的特征向量

（填空题）已知\( P \)为实数，\(\int_{0}^{+∞}\frac{\arctan x}{x^{p}(1+x)}dx\)收敛，则\( P \)的取值范围

（填空题）计算\(\lim\limits _{x→0}\left(\frac {1}{x}-\frac {\ln(1+x)}{x\sin x}\right)=\)

（填空题）求曲线\( x^{2}+2\sqrt {3}xy+y^{2}=1 \)在\((0,1)\)处的曲率半径\( R = \)

（填空题）$f(x,y)$ 可微，且 $df(0,0)=πdx+3dy$，$g(x)=f(\ln x,\sin πx)$，计算 $g'(1)=$

（填空题）求 $f(x)=\ln(2+x)$ 在 $[0,2]$ 上的平均值为

（填空题）设 $\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix} 1&b&-1\\ a+2&3&-3a \end{pmatrix}$，二次型 $\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{x}$ 的规范形为 $y_1^2$，则 $a + b=$

（本题满分10分）计算\( I = \int_{-1}^{1} \mathrm{d}x \int_{|x|}^{\sqrt{2 - x^2}} y \sin \sqrt{x^2 + y^2} \mathrm{d}y \).

（本题满分12分）设\( g(x) \)连续，\( f(x)=\int_{0}^{x^2} g(t)\mathrm{d}t \)，求\( f'(x) \)的表达式，并判断\( f'(x) \)在\( x = 0 \)处的连续性

（本题满分12分）求函数\( f(x,y)=(2x^2 - y^2)e^x \)的极值

（本题满分12分）设\( M(x_0,y_0) \)是曲线\( y = \dfrac{1}{1+x^2}(x \geq 0) \)的拐点，\( O \)为坐标原点，区域\( D \)是第一象限中曲线\( y = \dfrac{1}{1+x^2}(x \geq x_0) \)，线段\( OM \)及\( x \)轴正半轴围成的无界区域，求区域\( D \)绕着\( x \)轴旋转所生成的旋转体的体积.

（本题满分12分）求微分方程\( x^2 y'' - 2x y' - (y')^2 = 0(x > 2) \)满足\( \left. y \right|_{x=3} = \dfrac{1}{2} \)，\( \left. y' \right|_{x=3} = -9 \)的解.

（本题满分12分）已知向量组 \( \boldsymbol{\alpha}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \)，\( \boldsymbol{\alpha}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \)，\( \boldsymbol{\alpha}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \)，\( \boldsymbol{\alpha}_4 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \)，设 \( \boldsymbol{A} = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4) \)，\( \boldsymbol{G} = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2) \)

（1）证明：\( \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2 \) 是 \( \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4 \) 的极大线性无关组

（2）求矩阵 \( \boldsymbol{H} \) 使 \( \boldsymbol{A} = \boldsymbol{G}\boldsymbol{H} \)，求 \( \boldsymbol{A}^{10} \)