评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是 \( p \in (-1, 1) \)。

标准答案为 \( 0 < p < 2 \)。学生的答案与标准答案不一致。

分析：该反常积分在 \( x \to 0^+ \) 和 \( x \to +\infty \) 时都需要考虑收敛性。

1. 当 \( x \to 0^+ \) 时，被积函数 \( \frac{\arctan x}{x^{p}(1+x)} \sim \frac{x}{x^{p} \cdot 1} = x^{1-p} \)。因此，积分在0点收敛需要 \( 1-p > -1 \)，即 \( p < 2 \)。
2. 当 \( x \to +\infty \) 时，被积函数 \( \frac{\arctan x}{x^{p}(1+x)} \sim \frac{\pi/2}{x^{p} \cdot x} = \frac{\pi/2}{x^{p+1}} \)。因此，积分在无穷远处收敛需要 \( p+1 > 1 \)，即 \( p > 0 \)。

学生的答案 \( (-1, 1) \) 在无穷远处的判断（\( p > 0 \)）是正确的，但在0点的判断（\( p < 2 \)）是错误的，其给出的下界-1不符合0点收敛的条件（\( p < 2 \) 包含了 \( p = -1 \) 的情况，但此时在0点发散）。因此，学生的答案存在逻辑错误，未能正确分析积分在0点附近的性态。

根据题目要求，本题为填空题，正确则给5分，错误则给0分，禁止给步骤分。学生答案错误，故得0分。

题目总分：0分

评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案为“1/2”，与标准答案 \(\frac{1}{2}\) 完全一致。根据题目要求，本题为填空题，正确则给满分5分。学生作答简洁，直接写出最终结果，符合填空题的答题规范。尽管没有展示计算过程，但题目并未要求步骤分，且规则明确“正确则给5分”。因此，本题得5分。

题目总分：5分

评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生作答为“4”，与标准答案“4”完全一致。本题为填空题，仅需给出最终数值结果。根据题目要求，正确则给5分，错误则给0分，且禁止给步骤分。因此，该答案正确，得5分。

题目总分：5分

评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生两次识别结果均为“-2π”，与标准答案“-2π”完全一致。根据题目要求，填空题正确则给满分。因此，本题得分为5分。

题目总分：5分

评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

本题要求计算函数 \( f(x) = \ln(2+x) \) 在区间 \([0, 2]\) 上的平均值。函数在区间上的平均值公式为： \[ \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx \] 代入 \( a=0, b=2, f(x)=\ln(2+x) \)，得到： \[ \text{平均值} = \frac{1}{2-0} \int_0^2 \ln(2+x) \, dx = \frac{1}{2} \int_0^2 \ln(2+x) \, dx \] 计算积分：令 \( u = 2+x \)，则 \( du = dx \)，当 \( x=0 \) 时 \( u=2 \)，当 \( x=2 \) 时 \( u=4 \)。 \[ \int_0^2 \ln(2+x) \, dx = \int_2^4 \ln u \, du = \left[ u \ln u - u \right]_2^4 \] 代入计算： \[ (4 \ln 4 - 4) - (2 \ln 2 - 2) = (4 \cdot 2\ln 2 - 4) - (2\ln 2 - 2) = (8\ln 2 - 4) - (2\ln 2 - 2) = 6\ln 2 - 2 \] 因此，平均值为： \[ \frac{1}{2} (6\ln 2 - 2) = 3\ln 2 - 1 \] 标准答案为 \( 3\ln 2 - 1 \)。学生两次识别结果均为 \( 4\ln 2 - 1 \)，与标准答案不符。虽然可能存在字符识别问题（例如将“3”识别为“4”），但根据规则，对于识别结果，若两次均错误，则判定为答案错误。因此，本题得分为0分。

题目总分：0分

评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是“40”。标准答案是“2”。

题目要求二次型 \( \boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{x} \) 的规范形为 \( y_1^2 \)。这意味着矩阵 \( \boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^T \) 的秩为1，且其唯一的非零特征值为正（从而规范形系数为+1）。

由 \( \boldsymbol{A} \) 为 \( 2 \times 3 \) 矩阵可知，\( \boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^T \) 是 \( 2 \times 2 \) 矩阵。其规范形为 \( y_1^2 \) 等价于 \( \text{rank}(\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^T) = \text{rank}(\boldsymbol{A}) = 1 \)，且 \( \boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^T \) 是半正定矩阵。

要使 \( \text{rank}(\boldsymbol{A}) = 1 \)，矩阵 \( \boldsymbol{A} \) 的两行必须成比例。设第一行为 \( (1, b, -1) \)，第二行为 \( (a+2, 3, -3a) \)，则存在常数 \( k \) 使得：
\( a+2 = k \cdot 1 \)，
\( 3 = k \cdot b \)，
\( -3a = k \cdot (-1) \)。
由第一式和第三式可得 \( k = a+2 \) 且 \( -3a = -(a+2) \)，解得 \( -3a = -a-2 \)，即 \( -2a = -2 \)，所以 \( a = 1 \)。代入得 \( k = 3 \)。再由第二式 \( 3 = 3 \cdot b \) 得 \( b = 1 \)。因此 \( a + b = 2 \)。

学生答案“40”与正确结果“2”不符，且没有提供任何解题过程，无法判断其思路是否正确。根据标准答案评判规则，答案错误，得0分。

题目总分：0分

评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答整体思路正确：先利用对称性化简积分区域，再转化为极坐标计算。但在计算过程中存在多处逻辑错误和计算错误。

具体分析：

1. 第一次识别结果中，极坐标积分限 \( \int_{0}^{\sqrt{2}} \) 正确，但第二次识别结果中写成了 \( \int_{0}^{2} \)，这可能是识别错误。根据上下文，应以第一次为准，不扣分。
2. 被积函数转换正确：\( y \sin \sqrt{x^2+y^2} = r \sin\theta \cdot \sin r \cdot r = r^2 \sin\theta \sin r \)。
3. 计算 \( A = \int_{0}^{\sqrt{2}} r^2 \sin r \, dr \) 时，学生使用了分部积分，但过程中出现了严重错误：
   • 第一步：\( -\int_{0}^{\sqrt{2}} r^2 d\cos r = -r^2 \cos r \big|_{0}^{\sqrt{2}} + 2\int_{0}^{\sqrt{2}} r \cos r \, dr \) 正确。
   • 但接下来学生写为 \( -4\cos 2 + 2\int_{0}^{\sqrt{2}} r d\sin r \)，这里 \( \cos 2 \) 应为 \( \cos \sqrt{2} \)，且 \( 4\cos 2 \) 的系数错误（应为 \( 2\cos\sqrt{2} \)，因为 \( (\sqrt{2})^2 = 2 \)）。这是逻辑错误，扣2分。
   • 计算 \( B = \int_{0}^{\sqrt{2}} r d\sin r \) 时，学生写为 \( r\sin r \big|_{0}^{\sqrt{2}} - 2\int_{0}^{\sqrt{2}} \sin r \, dr \)，但正确应为 \( r\sin r \big|_{0}^{\sqrt{2}} - \int_{0}^{\sqrt{2}} \sin r \, dr \)。学生错误地多乘了2，导致后续计算全部错误。这是逻辑错误，扣2分。
   • 由于上述错误，最终结果 \( A \) 和 \( I \) 均错误，且表达式中出现 \( \sin 2, \cos 2 \) 等错误形式（应为 \( \sin\sqrt{2}, \cos\sqrt{2} \)）。最终答案与标准答案不符。
4. 对 \( \theta \) 的积分计算正确：\( \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \sin\theta \, d\theta = -\cos\theta \big|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = 0 - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)。

综上，学生思路正确，但计算过程存在多处关键性错误，导致最终答案错误。扣除逻辑错误分4分，得6分。

题目总分：6分

评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

本题要求求 \( f'(x) \) 的表达式并判断其在 \( x=0 \) 处的连续性。学生的两次识别结果均存在多处逻辑错误和计算错误，但核心思路（利用变上限积分求导和讨论分段点）是正确的。

具体分析：

• 表达式推导错误：学生通过变量代换 \( u = xt \) 得到 \( f(x) = \frac{1}{x} \int_0^{x^3} g(u) du \)，这一步是正确的。但在后续求导时，两次识别结果给出的 \( f'(x) \) 表达式均为 \( -\frac{1}{x^2} \int_0^{x^3} g(u) du + 3x \cdot g(x^3) \)，这与标准答案 \( \dfrac{3x^3 g(x^3)-\int_{0}^{x^3} g(u)\mathrm{d}u}{x^2} \) 在形式上不一致。然而，通过代数变换可以发现，学生的表达式 \( -\frac{1}{x^2} \int_0^{x^3} g(u) du + 3x \cdot g(x^3) = \frac{3x^3 g(x^3) - \int_0^{x^3} g(u) du}{x^2} \)，两者是等价的。因此，在表达式推导上，学生的最终结果与标准答案本质一致，不扣分。
• 连续性判断逻辑混乱：学生试图通过计算 \( \lim_{x \to 0} f'(x) \) 和 \( f'(0) \) 来判断连续性。但在计算过程中存在多处错误：
  1. 在第一次识别中，计算 \( \lim_{x \to 0} f'(x) \) 时，错误地将分子求导（洛必达法则）应用于 \( \frac{\int_0^{x^3} g(M) dM}{x^2} \)，求导后应为 \( \frac{3x^2 g(x^3)}{2x} = \frac{3}{2} x g(x^3) \)，但学生写成了 \( \frac{3x \cdot g(x^3)}{2x} \)，这可能是笔误或识别错误，且最终极限结果正确（为0），根据“误写不扣分”原则，此处不扣分。
  2. 在第二次识别中，计算 \( f'(0) \) 时，错误地写为 \( \lim_{x \to 0} \frac{\int_0^{x^3} g(u) du}{x^3} \)，分母应为 \( x^2 \) 而非 \( x^3 \)。这是一个明显的逻辑错误，导致后续计算错误（虽然巧合地得到了0）。根据“逻辑错误扣分”原则，此处应扣分。
  3. 在第二次识别中，最后结论写成了“\( f(x) \) 在 \( x=0 \) 处连续”，但题目要求判断 \( f'(x) \) 的连续性。这是一个严重的逻辑错误，表明学生可能混淆了函数与导数的连续性。
• 总体评价：学生正确使用了变上限积分求导的基本方法，并试图通过求极限来判断连续性，思路正确。但在具体计算和表述上存在多处错误，特别是第二次识别中的分母错误和结论对象错误。考虑到题目满分12分，且核心部分（表达式推导）正确，但连续性判断过程存在实质性错误，应扣除一定分数。

得分：8分（扣除4分，主要因连续性判断部分的逻辑和计算错误）。

题目总分：8分

评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

本题旨在考察利用偏导数求二元函数极值的方法。学生的作答过程存在多处根本性错误。

1. 一阶偏导数计算错误：题目中函数为 \( f(x,y)=(2x^2 - y^2)e^x \)，学生对 \( x \) 和 \( y \) 的偏导数计算均出现错误。正确的一阶偏导数为：
   \( f_x = (4x + 2x^2 - y^2)e^x \)，
   \( f_y = -2y e^x \)。
   学生错误地计算为 \( f_x = 4xe^y \) 和 \( f_y = (2x^2 - y^2 - 2y)e^y \) 或类似形式，这导致后续所有驻点求解、二阶偏导数计算及判别全部基于错误的函数进行，属于严重的逻辑错误。
2. 驻点求解错误：由于一阶偏导数错误，求解出的驻点 \((0,0)\) 和 \((0,-2)\) 并非原函数的驻点。原函数的正确驻点为 \((0,0)\) 和 \((-2,0)\)。
3. 二阶偏导数及判别错误：基于错误的偏导数，后续的二阶偏导数 \(A, B, C\) 计算也全部错误，因此对驻点的极值判别（如 \(AC-B^2\) 的符号）以及最终求得的极值点与极值均不正确。

尽管学生的解题思路（求偏导数、找驻点、利用二阶导数判别）在框架上是正确的，但由于在第一步核心计算上就出现了根本性错误，导致整个解答过程与标准答案完全不符，结论错误。

根据打分要求，逻辑错误需要扣分。此处的偏导数计算错误是核心逻辑错误，导致后续步骤全部失效。考虑到本题为12分综合题，且学生展示了完整的解题步骤，但核心计算完全错误，故给予少量步骤分。

得分：2分（给予基本解题框架和步骤分，但核心计算和结论全错）。

题目总分：2分

评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

本题满分12分。学生作答存在多处关键性逻辑错误和计算错误，但整体思路（分割区域、使用旋转体体积公式）正确。具体扣分如下：

1. 拐点坐标错误（扣2分）：学生未正确求出拐点M的坐标。拐点坐标是后续计算的基础，此处错误导致后续V1和V2的积分上下限及具体数值计算均无法正确进行。标准答案为 \( M\left( \frac{1}{\sqrt{3}},\frac{3}{4} \right) \)，学生作答中未体现此计算过程。
2. 体积V1公式错误（扣2分）：学生给出的 \( V_1 = \frac{1}{3} y_0^2 x_0 \) 是错误的。由线段OM绕x轴旋转形成的体积应是一个圆锥体，其体积公式应为 \( V_1 = \frac{1}{3} \pi y_0^2 x_0 \)。学生漏掉了关键的π。
3. 体积V2被积函数错误（扣3分）：学生给出的 \( V_2 = \int_{x_0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} dx \) 是错误的。旋转体体积的截面是圆，面积应为 \( \pi y^2 \)，因此被积函数应为 \( \pi \left( \frac{1}{1+x^2} \right)^2 \)。学生漏掉了π和平方，这是严重的概念错误。
4. 换元积分过程错误（扣2分）：在换元 \( x = \tan t \) 后，学生的推导出现混乱和错误。正确的推导应为： \[ V_2 = \pi \int_{x_0}^{+\infty} \frac{1}{(1+x^2)^2} dx = \pi \int_{\arctan x_0}^{\pi/2} \frac{1}{\sec^4 t} \cdot \sec^2 t dt = \pi \int_{\arctan x_0}^{\pi/2} \cos^2 t dt \] 学生写成了 \( \cos^2 t \tan^2 t \) 或 \( \cos^0 t \)，均不正确，且最终表达式未完成积分计算。
5. 最终答案缺失（扣1分）：学生未给出最终的体积数值结果。

由于思路（分割求和、使用积分求旋转体体积）正确，给予基础分。扣除上述错误共计10分，最终得分为2分。

题目总分：2分

评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

本题满分12分。学生作答分为两次识别，综合来看：

• 第一步将原方程化为关于 \( u = y'/x \) 的一阶方程 \( xu' = u(u+1) \)，思路正确，推导无误。
• 分离变量求解得到 \( \frac{u}{u+1} = C_1 x \)，过程正确。
• 代入初值 \( x=3, y' = -9 \) 时，第一次识别正确得到 \( u = -3 \)，解得 \( C_1 = 1/2 \)；第二次识别误将 \( y' \) 写为 -1，导致 \( u = -1/3 \)，但根据“只要有一次回答正确则不扣分”的原则，此处不扣分。
• 由 \( \frac{u}{u+1} = \frac{x}{2} \) 解得 \( y' = \frac{x^2}{2-x} \)，正确。
• 积分求 \( y \) 时，学生写到 \( y = \int \frac{x^2}{2-x} dx \)，并尝试分部积分，但后续积分过程未完成且出现错误（如 \( -\int x^2 d\ln(2-x) \) 后的展开有误），最终未得出与标准答案一致的结果。

主要扣分点：积分过程未完成，且关键步骤（积分计算与常数确定）缺失，导致最终答案未给出。因此扣除积分部分与常数确定部分的分数。

给予得分：8分（思路与前半部分正确得较多分数，但最终结果错误且关键计算未完成）。

题目总分：8分

评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生作答中，第一次识别结果给出了对矩阵A进行初等行变换的过程，并得出秩为2，且指出α₁,α₂线性无关，从而证明它们是极大线性无关组。思路正确，但变换结果与标准答案不完全一致（标准答案化为行最简形是 \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)，学生第一次识别结果为 \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)，这仍是阶梯形，秩为2的判断正确）。不过学生在证明开头写“设 \(a_3 = a_2 - a_1\)”等表达式有误（向量写错），但后续矩阵写的是正确的，可能是识别误差。整体逻辑正确，结论正确。第二次识别结果中向量计算明显有误（如α₃计算错误），但根据“只要其中有一次回答正确则不扣分”的原则，以第一次识别为准。因此（1）部分给满分6分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生设 \(GX = A\)，通过增广矩阵 \([G, A]\) 行变换求解 \(X\)（即 \(H\)）。第一次识别结果中，增广矩阵书写有误（列数不对，应为4列，但写了6列），但行变换后得到 \(X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}\)，这与标准答案 \(H = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}\) 相比，第3列不同（学生是1,1，标准是-1,1）。这可能是计算错误或识别错误。由于题目要求求 \(A^{10}\)，若H错误会导致后续计算错误，但学生答案中未给出 \(A^{10}\) 的计算，因此（2）部分只评价求H的过程。H的结果有误，但思路正确（用线性表示求系数矩阵），且部分正确（第1,2,4列正确）。根据部分正确的情况，给予部分分数，扣2分。得4分。

题目总分：6+4=10分