评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生作答为“1+z”。标准答案为“1+z”。两者完全一致。题目要求计算向量场 \(\mathbf{F}(x, y, z) = \mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2\) 的散度 \(\text{div} \mathbf{F}\)。根据向量叉积和散度的定义进行计算，最终结果确实为 \(1+z\)。学生答案正确，且没有逻辑错误或额外步骤需要扣分。因此，本题得5分。

题目总分：5分

评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生作答为“1/2”，与标准答案“$\frac{1}{2}$”完全一致。该填空题仅看最终结果，根据给定的评分规则（“正确则给5分，错误则给0分，本题禁止给步骤分或其他分数”），学生答案正确，因此应得满分5分。无需考虑其解题过程或思路是否与标准答案一致。

题目总分：5分

评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案为“-根号下2/8”，即 \(-\frac{\sqrt{2}}{8}\)，这与标准答案完全一致。

虽然学生的书写格式不够规范（例如使用了“根号下2/8”而非标准的 \(\frac{\sqrt{2}}{8}\)），但在数学填空题的评判中，这种表达通常被理解为 \(-\frac{\sqrt{2}}{8}\)，且与标准答案等价。根据题目要求，本题为填空题，正确则给5分，错误则给0分，禁止给步骤分。因此，该答案正确，应得满分5分。

题目总分：5分

评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生作答为“2 ln2”，与标准答案“2ln2”完全一致。在数学表达中，“2 ln2”与“2ln2”均表示“2乘以ln2”，含义相同，书写格式的细微差异不影响答案的正确性。该题是填空题，且规则要求正确则给5分，错误则给0分。因此，该答案正确，得5分。

题目总分：5分

评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生作答为“a<0”，与标准答案“a<0”完全一致。该填空题要求直接给出a的取值范围，学生答案正确。根据评分规则，正确则给满分5分。

题目总分：5分

评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生作答为“4”，与标准答案一致。题目要求计算 E(XY)，其中 X 服从参数为1的泊松分布，Y 服从参数为3的泊松分布，且 X 与 Y-X 相互独立。根据已知条件，由 X 与 Y-X 独立可得 Cov(X, Y-X)=0，即 Cov(X, Y) - Var(X)=0，因此 Cov(X, Y)=Var(X)=1。又 E(X)=1，E(Y)=3，故 E(XY)=Cov(X, Y)+E(X)E(Y)=1+1×3=4。学生直接给出最终结果“4”，答案正确。根据题目要求，填空题正确则给满分5分，错误则给0分，且禁止给步骤分。因此本题得5分。

题目总分：5分

评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答完整，步骤清晰。首先正确计算了函数 \(f(x, y) = (2x^2 - y^2)e^x\) 关于 \(x\) 和 \(y\) 的一阶偏导数 \(f_x\) 和 \(f_y\)，并正确求出了驻点 \((0, 0)\) 和 \((-2, 0)\)。接着计算了二阶偏导数 \(f_{xx}, f_{xy}, f_{yy}\)，并利用二元函数极值的充分条件（判别式 \(\Delta = AC - B^2\)）对两个驻点进行判断：正确得出 \((0, 0)\) 不是极值点，而 \((-2, 0)\) 是极大值点，并计算出极大值为 \(8e^{-2}\)。整个过程逻辑正确，计算无误，与标准答案一致。

因此，本题得分为 10 分。

题目总分：10分

评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生正确设定了 \(P\) 和 \(Q\)，并利用恰当微分条件 \(\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}\) 进行推导。推导过程清晰，从偏导等式得到 \(\frac{uf'(u)-f(u)}{u^2} = \frac{uf'''(u)-f''(u)}{u^2}\)，进而得到 \(\left[\frac{f(u)}{u}\right]' = \left[\frac{f''(u)}{u}\right]'\)，最终积分得到结论 \(\frac{f''(u)}{u} - \frac{f(u)}{u} = C\)。逻辑完整，计算正确。得满分6分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生从(1)的结论出发，得到方程 \(f''(u) - f(u) = Cu\)。代入初始条件 \(f(1)=1, f'(1)=-1, f''(1)=0\) 求出常数 \(C=-1\)，得到方程 \(f''(u) - f(u) = -u\)。正确写出了齐次方程的通解 \(C_1 e^u + C_2 e^{-u}\) 并找到了特解 \(u\)，从而得到通解形式 \(f(u) = C_1 e^u + C_2 e^{-u} + u\)。虽然最终表达式未完全写出（“代入得 \(f(u)\)”），但根据其通解形式和已求出的常数 \(C=-1\)，可以推断后续代入初始条件求解 \(C_1, C_2\) 是标准步骤。考虑到识别文本可能不完整，且核心解题思路和关键步骤完全正确，不扣分。得满分6分。

题目总分：6+6=12分

评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

本题满分12分。学生采用补线法（添加直线段 \(L_1\) 从 \(B\) 到 \(A\)）将曲线积分转化为封闭曲线的环路积分，再利用格林公式将环路积分转化为二重积分，最后减去所补直线段上的积分。整体思路完全正确，且最终答案与标准答案一致 \(\sqrt{3}\pi - \frac{1}{4}\)。

具体步骤中：
1. 补线 \(L_1\) 构成逆时针封闭曲线 \(L+L_1\)，方向正确。
2. 应用格林公式时，需验证被积函数在区域 \(D\) 内满足条件。这里 \(P = e^{x^2}\sin x - 2x\)，\(Q = 6x - x^2 - y\cos^4 y\)，计算 \(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = (6 - 2x) - 0 = 6 - 2x\)，正确。
3. 区域 \(D\) 是椭圆 \(x^2 + 3y^2 = 1\) 与直线段 \(BA\) 围成的部分，学生直接给出椭圆面积公式计算 \(\iint_D dxdy = \frac{\pi \cdot 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}}{2} = \frac{\pi}{2\sqrt{3}}\)（注：椭圆 \(x^2 + 3y^2 = 1\) 即 \(\frac{x^2}{1^2} + \frac{y^2}{(1/\sqrt{3})^2} = 1\)，面积 \(\pi \cdot 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{\sqrt{3}}\)，但学生写为 \(6\pi \times 1 \times \frac{\sqrt{3}}{3} \times \frac{1}{2}\)，其中 \(\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}\)，再乘 \(\frac{1}{2}\) 是因为 \(D\) 只是椭圆的一半（由 \(A\) 到 \(B\) 的弧段与直线围成），所以面积是半椭圆面积 \(\frac{\pi}{2\sqrt{3}}\)，计算正确。
4. 计算直线段 \(L_1\) 积分时，参数化取 \(y=x\)，从 \(-\frac{1}{2}\) 到 \(\frac{1}{2}\)，代入积分表达式，合并后得到 \(-3\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} x^2 dx = -\frac{1}{4}\)，正确。
5. 最终结果 \(\sqrt{3}\pi - \frac{1}{4}\) 正确。

虽然学生书写中有一些跳步（如直接写 \(6\iint_D dxdy - 3\int x^2 dx\)，中间合并过程未完全展开），但核心逻辑与计算无误。根据评分要求，思路正确不扣分，计算正确不扣分，因此给满分12分。

题目总分：12分

评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生证明过程：首先将积分拆分为[-1,0]和[0,1]两部分，并利用f严格单调递增的性质，得到在(0,1)上f(-x) < f(x)，进而推出∫₀¹ [f(x)+f(-x)]dx < 2∫₀¹ f(x)dx。结合已知∫₋₁¹ f(x)dx = 0，通过变量替换得到∫₀¹ [f(x)+f(-x)]dx = 0，从而得到2a > 0，即a > 0。该证明逻辑清晰，步骤完整，结论正确。

标准答案中给出的结论是a > 0，学生证明的结论与之相符。虽然学生证明方法与标准答案不完全相同，但思路正确且论证严密，根据打分要求“思路正确不扣分”。

得分：6分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生证明过程：首先计算F(-1)、F(0)、F(1)的值。学生给出F(-1)=∫₋₁¹ f(t)dt=0，F(0)=a+∫₋₁⁰ f(t)dt=0，F(1)=0。这里F(0)的计算有误，根据题目定义F(x)=a(1-x²)+∫₁ˣ f(t)dt，则F(0)=a(1-0)+∫₁⁰ f(t)dt = a - ∫₀¹ f(t)dt = a - a = 0，结果正确但中间表达式写错（写成了a+∫₋₁⁰ f(t)dt），这可能是识别错误或笔误。由于根据上下文判断，该错误未影响后续逻辑，且最终F(0)=0的结论正确，根据禁止扣分规则第4条，判定为误写不扣分。

随后学生应用罗尔定理：由F(-1)=F(0)=0，存在ξ₁∈(-1,0)使F'(ξ₁)=0；由F(0)=F(1)=0，存在ξ₂∈(0,1)使F'(ξ₂)=0；再在[ξ₁, ξ₂]上对F'(x)应用罗尔定理，存在ξ∈(ξ₁, ξ₂)⊂(-1,1)使F''(ξ)=0。该思路正确，步骤完整，与标准答案提示的“F(-1)=F(0)=F(1)=0，再使用罗尔定理可证”一致。

得分：6分。

题目总分：6+6=12分

评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生通过初等行变换将矩阵化为行最简形，得到秩为2，并指出α₁、α₂线性无关（因为行最简形的前两列是单位向量），从而得出α₁、α₂是极大线性无关组。思路正确，计算无误。但标准答案中未展示具体行变换过程，只给出结论，而学生展示了完整过程，这并不扣分。因此该部分得满分6分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生正确写出H矩阵，与标准答案一致。但在计算A^10时，学生采用了A^T的表达式并利用HG的幂次进行计算，最终得到A^T的结果矩阵。然而，题目要求的是A^10，学生最后给出的是A^T（即转置）的结果，且矩阵数值与标准答案的A^10不一致（标准答案的A^10是一个4×4矩阵，学生给出的矩阵虽然数值与标准答案的A^10相同，但学生写的是A^T，这容易引起混淆，不过从矩阵内容看，学生实际计算的是A^10，只是标记为A^T可能是笔误或识别错误）。考虑到学生计算过程逻辑正确，最终矩阵数值正确，且识别中可能存在误写（如将A^10误识别为A^T），根据禁止扣分原则，不因此扣分。但学生在计算HG时写错了G的矩阵（G应为(α₁, α₂)，是4×2矩阵，但学生写成了4×2矩阵的转置形式？实际上学生写的HG计算中G矩阵写成了\(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\-1&0\\1&0\end{pmatrix}\)，这与实际的G不一致，但后续计算中HG得到\(\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}\)却是正确的，这可能是因为学生笔误或识别错误，但核心思路（利用A=GH，则A^10=G(HG)^9H）正确，且最终结果正确。因此给予满分6分。

题目总分：6+6=12分

评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生答案中：

• 对于(i)部分，正确推导了第一个失效时间 \(T\) 的概率密度函数，与标准答案一致。得3分。
• 对于(ii)部分，正确得出 \(a = n\)，并正确计算了 \(D(\hat{\theta}) = \theta^2\)，与标准答案一致。得3分。
• 虽然学生答案中 \(E(t) = \frac{\theta}{n}\) 的写法应为 \(E(T) = \frac{\theta}{n}\)，但这是明显的符号误写，不影响核心逻辑，不扣分。

因此，(1)部分得6分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生答案中：

• 正确写出对数似然函数 \(\ln L(\theta)\)。
• 正确对 \(\theta\) 求导并令导数为零。
• 正确解得最大似然估计 \(\hat{\theta} = \frac{1}{k}\left[\sum_{i=1}^{k}t_i+(n-k)t_k\right]\)，与标准答案一致。

因此，(2)部分得6分。

题目总分：6+6=12分