评分及理由 （1）得分及理由（满分6分） 学生正确理解了题意，指出Ax=0的解是B^Tx=0的解意味着r(A)=r([A;B^T])，且两方程组不同解意味着r(A)=2。在计算过程中，虽然初等变换的步骤与标准答案略有不同，但最终得到了正确的阶梯形矩阵，并正确解出a=1,b=2。但学生写的...

评分及理由 （1）得分及理由（满分6分） 学生第一次识别结果中，正确计算了g(x,y)的一阶和二阶偏导数，代入原方程后得到25f_{12}''=1，从而得出∂²f/∂u∂v=1/25。思路和计算完全正确。第二次识别结果中，虽然变量替换有误（v=3x-y误写为v=x-y），但在偏导数计算中...

评分及理由 （1）得分及理由（满分12分） 学生正确写出了旋转体体积公式 \( V(t) = \pi \int_{t}^{2t} (\sqrt{x} e^{-x})^2 \, dx = \pi \int_{t}^{2t} x e^{-2x} \, dx \)，并正确求导得到 \( ...

评分及理由 （1）得分及理由（满分6分） 学生正确使用了变换 \( x = e^t \) 来化简方程，并正确计算了一阶导数和二阶导数。代入原方程后得到 \(\frac{d^2y}{dt^2} - 9y = 0\)，并正确求解特征方程得到通解 \( y = C_1 x^3 + C_2 x^...

评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 学生作答中，第一次识别结果和第二次识别结果都正确使用了轮换对称性，将原积分化简为∬D1dxdy，这一步思路正确且与标准答案一致。在极坐标变换中，第一次识别结果正确给出了θ的范围为[arctan(1/3), arctan3]，但r的上下限写...

评分及理由 （1）得分及理由（满分6分） 学生第1次识别结果中，面积计算过程正确：正确写出面积积分表达式，通过三角代换 \(x = \tan t\) 将积分转化为 \(\int \frac{1}{\sin t} dt\)，并正确应用积分公式得到 \(\ln|\csc t - \cot t...

评分及理由 （1）得分及理由（满分12分） 学生作答分为两次识别结果。第一次识别结果存在多处严重错误：偏导数计算错误（如∂f/∂x写为e^{xy}+x，应为e^{cos y}+x）、二阶偏导数符号错误（如B写为∂³f/∂x∂y）、极值点坐标和极值计算错误等，这些属于核心逻辑错误。第二次识...

评分及理由 （1）得分及理由（满分5分） 学生第一问的解答存在关键错误。题目条件给出曲线经过点(c²,0)，且c在题目中应为已知常数，但学生错误地使用了点(e²,0)。更重要的是，在建立微分方程时，题目条件"到y轴的距离等于该点处的切线在y轴上的截距"应得到方程x = y - xy'，但...

评分及理由 （1）得分及理由（满分5分） 学生作答内容与题目要求完全不符。题目要求计算由方程 \( e^{z} + x z = 2x - y \) 所确定的隐函数 \( z = z(x, y) \) 在点 (1,1) 处的二阶偏导数 \( \frac{\partial^{2} z}{\p...

评分及理由 （1）得分及理由（满分6分） 学生正确写出了二次型的矩阵A，计算了特征多项式并得到特征值λ₁=2, λ₂=λ₃=4。在求特征向量时，λ=2对应的特征向量ξ₁=(1,0,-1)ᵀ正确；λ=4对应的特征向量中，ξ₂=(0,1,0)ᵀ正确，但ξ₃=(-1,0,-1)ᵀ有误，应为(1...

评分及理由 （1）得分及理由（满分6分） 第一次识别结果中，对g(x,y)的偏导数计算存在明显错误，表达式"x-(y-x)"和"(x-y)e^(1)-(1-2u-v)e^(-(u+v))"逻辑混乱，无法得分。 第二次识别结果中，正确应用了链式法则：∂g/∂x = f₁' - f₂'，并代...

评分及理由 （1）区域划分与极坐标转换（满分3分） 学生正确地将区域D划分为D₁和D₂，并使用了极坐标变换。但在D₁的θ范围识别上存在错误（标准答案为π/2到π，学生识别为π/3到π）。由于这是核心逻辑错误，扣1分。得分：2分 （2）被积函数化简（满分3分） 学生正确地将被积函数化简为...

评分及理由 （1）微分方程求解部分得分及理由（满分6分） 学生正确将原方程化为标准形式，并应用一阶线性微分方程的通解公式求解。虽然在化简过程中存在一些细节差异（如Q(x)的表达式与标准答案略有不同），但最终得到的微分方程解与标准答案一致：y = (1/4)x² - (1/2)lnx。代入...

评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 第一次识别结果分析： 学生首先错误地引入了无关条件“\(\frac{a}{x-1} + f(x) = f'(x)\)”，这与题目无关，属于逻辑错误。 极限表达式写错为“\(\lim_{x \to 0} \frac{f(ex^2) - ...

评分及理由 （1）求a,b的值（满分6分） 得分：6分 理由：学生正确计算了特征多项式，得到特征值为b,1,3。正确分析了两种情况b=1和b=3，并分别求出对应的a值。在b=1时得到a=1，在b=3时得到a=-1，与标准答案完全一致。 （2）求可逆矩阵P（满分6分） 得分：4分 理由：...

评分及理由 （1）得分及理由（满分12分） 学生作答中，第1次识别结果存在多处逻辑错误： 极坐标转换时，r的上限错误地写为\(\sqrt{a\cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta}\)，其中a未定义，且与标准答案\(\sqrt{\cos 2\the...

评分及理由 （Ⅰ）得分及理由（满分6分） 学生第一次识别结果中，求解微分方程的过程正确，使用了积分因子法并得到了通解形式 y = 1 + Cx⁶。但在利用初始条件 y(√3) = 10 时，错误地将 x = √3 代入为 x = 3，导致计算错误得到 C = 1/3 而不是正确的 C =...

评分及理由 （1）S的得分及理由（满分6分） 第1次识别结果中，学生从给定积分关系推导f(x)时出现错误：原式应为∫f(x)/√x dx = (1/6)x² - x + C，但学生错误写成∫f(x)/√x dx = (1/6)x² - x + C后，在求导时又出现错误。实际正确的f(x)...

评分及理由 （1）凹凸区间得分及理由（满分6分） 学生正确给出了函数的分段表达式，并计算了二阶导数。在凹凸区间判断中： 正确得出当x>0时f''(x)>0，凹区间(0,+∞) 正确得出当-1 正确得出当x<-1时f''(x)>0，凹区间(-∞,-1) 但在分段讨论时，对x=0处的二阶导数存在...

评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 学生作答存在多处逻辑错误： 第一次识别结果中，第一步通分后的分子写为 \(\sin x + \sin x \int_{0}^{x^{2}} e^{t} dt - e^{x} + 1\)，其中积分上限误写为 \(x^2\) 且积分变量混淆，...