评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 学生作答正确建立了微分方程模型：\(\frac{dx}{dt} = -k(x-m)\)，并正确求解得到通解 \(x(t) = Ce^{-kt} + m\)。代入初始条件 \(x(0)=120\) 和 \(m=20\)，得到 \(C=100\)...

评分及理由 （1）导数计算（满分2分） 学生正确计算了导数 \(f'(x) = -\sqrt{1+x^2} + 2x\sqrt{1+x^2} = \sqrt{1+x^2}(2x-1)\)，与标准答案一致。得2分。 （2）驻点与单调性分析（满分3分） 学生正确求解驻点 \(x=\frac...

评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 学生作答分为两次识别结果，但内容实质相同。核心步骤正确： 正确将积分拆分为 \(\iint_D x^2 \, dxdy + \iint_D xy \, dxdy\)，并利用对称性得出 \(\iint_D xy \, dxdy = 0\)（因为区...

评分及理由 （1）得分及理由（满分3分） 学生正确求解了 \(f_x'(x,y)\) 的表达式，并利用条件 \(f_x'(x,0) = (x+1)e^x\) 确定了积分函数 \(\varphi(x)\)。过程与标准答案一致，得3分。 （2）得分及理由（满分4分） 学生正确对 \(f_x'(...

评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 学生作答在第一次识别中存在一处关键逻辑错误：在计算 \(x_0 - a\) 时，错误写成了 \(\frac{f(b)}{f'(\xi)} - \frac{f(b)}{f'(\xi)}\)（应为 \(\frac{f(b)}{f'(\xi)} - ...

评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 学生作答正确建立了微分方程模型：\(\frac{dx}{dt} = -k(x-m)\)，并正确求解得到通解 \(x(t) = Ce^{-kt} + m\)。代入初始条件 \(x(0)=120\) 和 \(m=20\)，正确得到 \(C=100\)...

评分及理由 （1）导数计算（满分2分） 学生正确计算了导数：\(f'(x) = -\sqrt{1+x^2} + 2x\sqrt{1+x^2} = \sqrt{1+x^2}(2x-1)\)。此部分完全正确，得2分。 （2）驻点与单调性分析（满分3分） 学生正确求解了驻点（\(x=\fra...

评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 学生作答整体思路正确，但存在关键逻辑错误和计算错误。具体分析如下： 第一步：将原积分\(\iint_D x(x+y)dxdy\)展开为\(\iint_D x^2 dxdy\)是错误的，因为原积分包含\(x(x+y)=x^2+xy\)，而学生忽略...

评分及理由 （1）得分及理由（满分11分） 学生作答与标准答案完全一致，思路正确，计算无误。具体步骤包括： 正确对 \(f_{xy}''(x,y)=2(y+1)e^x\) 关于 \(y\) 积分得到 \(f_x'(x,y) = (y^2+2y)e^x + \varphi(x)\)，并利用...

评分及理由 （1）建立微分方程及通解（满分2分） 学生正确建立了微分方程 \(\frac{dx}{dt} = -k(x - m)\) 并给出通解 \(x(t) = Ce^{-kt} + m\)，同时正确代入初始条件 \(x(0)=120\) 和 \(m=20\) 得到 \(C=10...

评分及理由 （1）导数计算（满分2分） 学生正确计算了导数 \(f'(x) = -\sqrt{1+x^2} + 2x\sqrt{1+x^2} = \sqrt{1+x^2}(2x-1)\)，与标准答案一致。得2分。 （2）驻点与单调性分析（满分3分） 学生正确求解驻点 \(x=\frac...

评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 学生作答整体思路正确，与标准答案一致。首先正确地将被积函数分解为 \(x(x+y) = x^2 + xy\)，并利用积分区域关于x轴的对称性（虽然区域D实际上并不完全关于x轴对称，但函数xy关于y是奇函数，而区域D在y≥x²且x²+y²≤2下...

评分及理由 （1）得分及理由（满分11分） 学生作答中，第一次识别结果与第二次识别结果在核心步骤上基本一致，但在极值点判断和二阶偏导数计算时存在差异。具体分析如下： 第一步：由 \(f_{xy}''(x,y)=2(y+1)e^x\) 对 \(y\) 积分求 \(f_x'(x,y)\)，得...

评分及理由 （1）求导过程得分及理由（满分3分） 学生正确计算了导数：\(f'(x)=-\sqrt{1+x^{2}}+2x\sqrt{1+x^{2}}=\sqrt{1+x^{2}}(2x-1)\)，与标准答案一致。得3分。 （2）驻点与单调性分析得分及理由（满分4分） 学生正确求解驻点...

评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 学生作答在步骤一中正确展开被积函数并利用对称性化简为\(\iint_D x^2 dxdy\)，思路正确。步骤二正确设置积分限为\(2\int_0^1 dx \int_{x^2}^{\sqrt{2-x^2}} x^2 dy\)，与标准答案一致。步...

评分及理由 （1）得分及理由（满分11分） 学生作答与标准答案基本一致，解题思路正确：先对混合偏导数积分得到一阶偏导数，利用初始条件确定积分函数，再积分得到原函数并利用边界条件确定常数，最后求极值点并利用二阶导数判别法判断极值类型。计算过程准确，包括积分步骤、常数确定、偏导数计算和极值判别...

评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 学生作答整体思路正确，步骤完整，与标准答案一致。具体分析如下： 第一步：正确展开被积函数为 \(x^2 + xy\)，并利用积分区域关于x轴对称和xy关于y为奇函数的性质，得出 \(\iint_D xy \, dxdy = 0\)，从而化简为 ...

评分及理由 （1）得分及理由（满分11分） 学生作答中，第一次识别结果和第二次识别结果的核心逻辑基本正确，但在第二次识别结果中存在一处关键错误：求极值点时，误将驻点求为(-2,-1)，但实际应为(0,-1)。具体分析如下： 从已知条件积分求\(f_x'(x,y)\)的过程正确，得到\(f...

评分及理由 （1）得分及理由（满分11分） 学生作答中，第一步对 \(f_{xy}''(x,y)=2(y+1)e^x\) 关于 y 积分得到 \(f_x'(x,y) = (y^2+2y)e^x + \varphi(x)\)，并利用条件 \(f_x'(x,0) = (x+1)e^x\) 确定...

评分及理由 （1）特征多项式计算（满分3分） 学生正确计算了矩阵A和B的特征多项式，均得到λ^(n-1)(λ-n)，与标准答案一致。得3分。 （2）特征值分析（满分3分） 学生正确得出A和B的特征值完全相同（n和n-1重0），与标准答案一致。得3分。 （3）对角化证明（满分5分） 学...