1 评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生给出的答案是"1"，与标准答案一致。 该题考查的是二次型在正交变换下的标准形问题。原二次型对应的矩阵为： \[ A = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ a & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{p...

评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生作答因图片内容问题无法识别有效答案。根据题目要求，若图片识别结果为无效内容或无作答内容，则视为未作答。本题为填空题，标准答案为π，学生未提供任何有效答案，故得0分。 题目总分：0分

4 评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生给出的答案是"4"，而标准答案是"0"。题目要求计算的是二阶偏导数 \(\frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}}\) 在点 (0,2) 处的值。 分析：函数 \(F(x, y)=\int_{0}^{y} \...

评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生第一次识别结果为 \(\sin x e^x\)，与标准答案 \(y=\sin x e^{-x}\) 对比，指数符号存在差异（应为 \(e^{-x}\) 但写作 \(e^x\)）。由于指数符号错误会导致函数不满足原微分方程，属于逻辑错误，...

评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生两次识别结果分别为 \(\ln(1+\frac{x}{2})\) 和 \(\ln(1 + x)\)，而标准答案为 \(\ln(\sqrt{2}+1)\)。计算弧长的正确步骤应为：先求导得 \(y' = \tan x\)，再代入弧长公式 \(...

评分及理由 （1）得分及理由（满分5.5分） 学生正确写出了似然函数和对数似然函数，并通过求导得到了最大似然估计 \(\hat{\sigma}^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \mu_0)^2}{n}\)，这与标准答案一致。虽然第一行似然函数表达式中出现了"t...

评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生答案中只给出了条件概率公式和相关系数公式，没有给出(X,Y)的联合分布律。根据标准答案，第一问要求写出完整的联合分布表，但学生完全没有涉及这部分内容，因此该问得0分。 （2）得分及理由（满分4分） 学生答案中完全没有涉及Z=XY的分布计算，...

评分及理由 （1）得分及理由（满分5.5分） 学生第一次识别结果中，对特征值和特征向量的求解存在严重错误。例如，将矩阵乘法错误理解为向量运算，且给出的特征向量维度错误（二维而非三维）。第二次识别结果中，虽然正确识别出特征值为0,1,-1，但给出的特征向量不正确（如λ₁=(0,0,0)不能...

评分及理由 （1）得分及理由（满分5分） 得0分。因为学生作答图片无法识别，没有提供任何有效解答内容，无法判断解题思路或计算过程是否正确。 （2）得分及理由（满分6分） 得0分。同样由于图片无法识别，学生没有提供将β₁, β₂, β₃由α₁, α₂, α₃线性表出的解答过程。 题目总...

评分及理由 （1）得分及理由（满分11分） 第一次识别结果存在多处符号错误和逻辑混乱： 将原积分写为\(\int xdx\int yd t_{x}(x,y)dy\)，被积函数符号错误（应为\(xyf_{xy}''(x,y)\)） 分部积分过程出现\(t_{x}'(xy)\)...

评分及理由 （1）得分及理由（满分5分） 学生第一问证明思路与标准答案基本一致，通过构造函数利用导数证明不等式。但存在以下问题： 在证明$\ln(1+x) < x$时，学生没有给出完整的证明过程，只给出了$\frac{x}{1+x} < \ln(1+x)$的证明。 在证明$\ln(1+x) < x$时，学生使用了$g(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}-1$，但证明过程不完整且逻辑不够清晰。 学生给出的证明范围是$x\in(0,1)$，而题目要求对任意正整数$n$都成立，即$x=\frac{1}{n}\in(0,1]$，证明范围不够完整。 考虑到学生基本思路正确，但证明不完整，扣2分，得3分。 （2）得分及理由（满分5分） 学生第二问证明思路正确： 正确计算了$a_{n+1}-a_n = \frac{1}{n+1} - \ln(1+\frac{1}{n})$ 正确利用第一问结论得出$a_{n+1}-a_n < 0$，说明数列单调递减 正确证明$a_n > \ln(\frac{n+1}{n}) > 0$，说明数列有下界 正确应用单调有界收敛定理得出数列收敛 证明过程完整且逻...

评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 学生作答存在以下问题： 函数定义错误：学生将原方程改写为 \(\xi + t(x) = \frac{x}{\arctan x}\)，这与原方程 \(k \arctan x - x = 0\) 不符，属于逻辑错误。 导数计算错误：学生对...

评分及理由 （1）一阶偏导数部分（满分3分） 学生第一次识别结果中给出的一阶偏导数表达式为：$\frac{\partial z}{\partial x}: \ t_1'y + t_{12}'y g'(x)$。这里存在明显的逻辑错误： 正确的一阶偏导数应为：$\frac{\partial...

评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 本题需要计算极限 \(\lim _{x \to 0}(\frac{\ln (1+x)}{x})^{\frac{1}{e^{x}-1}}\)，但学生的两次识别结果均与题目要求不符： 第一次识别结果计算的是 \(\lim_{x \to 0} ...

评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生作答给出了两个识别结果。第一个识别结果为"$27x^{3}y^{3}$"，这与标准答案"$\mu^{3} + \mu\sigma^{2}$"在形式和内容上完全不同。第二个识别结果显示未能获取有效作答内容。 分析第一个识别结果"$27x^{3}...

1 评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生给出的答案是1，与标准答案一致。该题要求通过正交变换将二次曲面方程化为指定形式，从而确定参数a的值。学生的答案正确，表明其理解了二次型通过正交变换对角化的原理，并正确计算出了特征值或通过其他等价方法得到了a=1的结果。因此得4分。 题目总...

评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生作答未提供任何有效的解答内容。第一次识别结果显示图片仅为涂抹线条，无法提取有效回答；第二次识别结果也确认没有可提取的回答内容。由于题目要求计算曲线积分，而学生未给出任何计算过程或最终答案，无法判断其思路是否正确，因此本题得0分。 题目总分：0分

4 评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生作答为"4"，而标准答案是"0"。该题目要求计算二阶偏导数 \(\frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}}\) 在点 (0,2) 处的值。 分析：函数 \(F(x, y)=\int_{0}^{y} \frac...

评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 第1次识别结果为 \(\sin x \cdot x^{-2}\)，第2次识别结果为"study ×"。 第1次识别结果 \(\sin x \cdot x^{-2}\) 与标准答案 \(y=\sin x e^{-x}\) 不符： ...

评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 本题考察曲线弧长的计算。根据弧长公式，曲线 \(y = \int_0^x \tan t \, dt\) 在区间 \([0, \frac{\pi}{4}]\) 上的弧长为： \[ s = \int_0^{\pi/4} \sqrt{1 + (y...