评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生正确推导了Z的分布函数，并得到了正确的概率密度函数形式。但在概率密度函数表达式中，将σ误写为6（可能是识别错误），且指数部分分母写为26²（应为2σ²），但核心逻辑正确。根据禁止扣分规则，字符误写不扣分。因此得4分。 （2）得分及...

评分及理由 （Ⅰ）得分及理由（满分6分） 第一次识别中，学生给出的B矩阵有误（第二行第二列写为-1，应为1），且未验证a=0的情况，但最终得出a≠0的结论正确。第二次识别中B矩阵仍错误（第二行第三列写为0，应为a），但思路正确且得出a≠0。由于识别错误可能为误写，且核心逻辑（通过秩相等推...

评分及理由 （Ⅰ）得分及理由（满分6分） 学生正确利用了对称性得出质心的x、y坐标为0，并正确计算了z坐标的积分表达式。计算过程清晰，结果正确。但第一次识别中使用了符号\(\mathrm{d}s\)表示面积微元，应为\(\mathrm{d}x\mathrm{d}y\)，不过根据上下文可判...

评分及理由 （1）得分及理由（满分12分） 学生作答的整体思路正确：首先通过圆与椭圆内切的条件建立方程组，得到关系式 \(a^2b^2 - b^4 - a^2 = 0\)（即标准答案中的 \(a^2 - a^2b^2 + b^4 = 0\)，学生给出的形式等价，只是符号差异，不影响后续计...

评分及理由 （Ⅰ）得分及理由（满分6分） 得分：6分 理由： 学生正确设 \( g(x) = \frac{f(x)}{x} \)，并推导出 \( g'(x) = \frac{xf'(x)-f(x)}{x^2} = \frac{a(1-\ln x)}{x^2} \)，然后通过积分得到 \...

评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 学生作答中，首先正确写出了等价无穷小的极限表达式：\(\lim_{x \to 0} \frac{a\sin x + bx^2 + \ln(1 - 2x + x^2)}{1 - e^{5x^2}} = 1\)，这一步正确。 然后学生将\(\ln(...

θ 评分及理由 （1）得分及理由（满分5分） 学生作答为"θ"，与标准答案"θ"完全一致。该题考查最大似然估计量的期望计算，根据概率论知识，对于该指数分布族参数，最大似然估计量θ̂ = X̄/3（其中X̄为样本均值），而E(X̄) = E(X) = 3θ，因此E(θ̂) ...

-15 评分及理由 （1）得分及理由（满分5分） 学生给出的答案是"-15"，与标准答案完全一致。 根据题目信息，方程组AX = [3,2]ᵀ的通解为k(-2,1)ᵀ + (3,-4)ᵀ，这说明： 齐次方程AX=0的通解为k(-2,1)ᵀ，因此(-2,1)ᵀ是A的零空间向量，即A(-2,...

0 评分及理由 （1）得分及理由（满分5分） 学生作答为"0"，与标准答案一致。题目要求计算傅里叶系数$a_{2n}$的值，已知条件$f(x+\pi)=-f(x)$表明函数具有半周期反对称性。根据傅里叶系数的计算公式： $$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\...

1/3<a<=1/2 评分及理由 （1）得分及理由（满分5分） 学生给出的答案为 \( \frac{1}{3} < a \leq \frac{1}{2} \)，这与标准答案 \( (\frac{1}{3}, \frac{1}{2}] \) 完全一致。虽然学生使用了不等式符号 \...

1 评分及理由 （1）得分及理由（满分5分） 该题为填空题，学生答案直接给出数值"1"。标准答案为1，数值完全一致。由于填空题只需给出最终结果，不要求展示解题过程，因此学生答案正确，得满分5分。 题目总分：5分

1/3 评分及理由 （1）得分及理由（满分5分） 学生给出的答案是"1/3"，与标准答案一致。题目要求计算极限 \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} f(\sin^2 t + \cos t) dt}{x e^{x^2} - x}\)，已...

评分及理由 （Ⅰ）得分及理由（满分6分） 学生正确使用了对称性得出质心的x、y坐标为0，并正确计算了z坐标的积分表达式。虽然第一次识别中写成了"ds"（应为dxdy），但第二次识别中已修正为正确的面积微元。计算过程和结果与标准答案一致。因此得6分。 （Ⅱ）得分及理由（满分6分） 学生正...

评分及理由 （1）得分及理由（满分12分） 学生作答分为两次识别，但两次识别内容基本一致，核心思路正确。学生正确设切点，利用相切条件（函数值相等和导数相等）得到关系式 \(a^2b^2 - b^4 - a^2 = 0\)，这与标准答案中的 \(a^2 - a^2b^2 + b^4 = 0...

评分及理由 （Ⅰ）得分及理由（满分6分） 得分：5分 理由： 学生正确设 \( g(x) = \frac{f(x)}{x} \)，并推导出 \( x^2 g'(x) = a(1 - \ln x) \)，积分得到 \( g(x) = a \cdot \frac{\ln x}{x} +...

评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 学生正确写出等价无穷小条件：\(\lim_{x \to 0} \frac{a\sin x + bx^2 + \ln(1 - 2x + x^2)}{1 - e^{5x^2}} = 1\)，得1分。 学生将\(\ln(1 - 2x + x^2)\)...

θ 评分及理由 （1）得分及理由（满分5分） 学生给出的答案是"θ"，与标准答案"θ"完全一致。 根据概率论知识，对于指数族分布，最大似然估计量通常是有偏的，但本题中X的概率密度函数f(x;θ) = (1/(3θ))e^(-x/(3θ))，这是一个尺度参数为3θ的指数分布。通过...

-15 评分及理由 （1）得分及理由（满分5分） 学生给出的答案是"-15"，与标准答案完全一致。题目要求计算二次型表达式 \(\beta^T A\beta\)，其中已知线性方程组的通解形式和向量 \(\beta\)。根据通解形式可知齐次解为 \(k(-2,1)^T\)，特解为 \(...

0 评分及理由 （1）得分及理由（满分5分） 学生作答为"0"，与标准答案一致。题目给出了函数满足$f(x+\pi)=-f(x)$的条件，要求计算傅里叶系数$a_{2n}$。根据傅里叶系数的定义和给定的函数性质，可以推导出$a_{2n}=0$。学生的答案正确且简洁，没有逻辑错误，因此...

1/3<a<=1/2 评分及理由 （1）得分及理由（满分5分） 学生给出的答案是 \( \frac{1}{3} < a \leq \frac{1}{2} \)，这与标准答案 \( (\frac{1}{3}, \frac{1}{2}] \) 完全一致。该答案正确考虑了积分发散的条...