评分及理由
(1)收敛域部分得分及理由(满分6分)
学生正确分析了两个级数的收敛性:对于∑e^{-nx},指出当x>0时收敛(但错误地写为x∈[0,+∞)时|e^{-x}|<1恒成立,实际上x=0时e^{-0}=1,比值判别法失效,且x=0时级数发散,但学生未考虑x=0的情况);对于∑x^{n+1}/[n(n+1)],正确得到收敛半径R=1,并检验端点x=±1,得到收敛域[-1,1]。取交集时,学生得到[0,1],但标准答案为(0,1]。这里存在逻辑错误:x=0时,∑e^{-n·0}=∑1发散,所以收敛域不应包含0。因此扣2分。得分:4分。
(2)和函数部分得分及理由(满分6分)
学生正确将和函数分为两部分:S₁(x)=∑e^{-nx}=1/(e^x-1)(x>0),S₂(x)=∑x^{n+1}/[n(n+1)]。在计算S₂(x)时,学生写成∑x^{n+1}/n - ∑x^{...1恒成立,实际上x=0时e^{-0}=1,比值判别法失效,且x=0时级数发散,但学生未考虑x=0的情况);对于∑x^{n+1}/[n(n+1)],正确得到收敛半径r=1,并检验端点x=±1,得到收敛域[-1,1]。取交集时,学生得到[0,1],但标准答案为(0,1]。这里存在逻辑错误:x=0时,∑e^{-n·0}=∑1发散,所以收敛域不应包含0。因此扣2分。得分:4分。
(2)和函数部分得分及理由(满分6分)
学生正确将和函数分为两部分:s₁(x)=∑e^{-nx}=1/(e^x-1)(x>