评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

得分：3分

理由：

• 学生正确计算了一阶偏导数 \(\frac{\partial g}{\partial x}\) 和 \(\frac{\partial g}{\partial y}\)，但二阶偏导数的计算存在错误。
• 在计算 \(\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}\) 时，学生错误地将 \(f_{12}\) 和 \(f_{21}\) 分开计算，实际上 \(f_{12} = f_{21}\)（二阶连续偏导数的性质）。
• 代入方程后，学生错误地得到 \(\frac{\partial^2 f}{\partial u\partial v} = \frac{1}{18}\)，而正确答案应为 \(\frac{1}{25}\)。
• 由于核心逻辑错误（二阶偏导数的计算和最终结果错误），扣3分。

（2）得分及理由（满分6分）

得分：2分

理由：

• 学生基于错误的 \(\frac{\partial^2 f}{\partial u\partial v} = \frac{1}{18}\) 进行后续计算，导致积分结果错误。
• 积分过程中，学生正确使用了给定的边界条件 \(\frac{\partial f(u,0)}{\partial u} = ue^{-u}\) 和 \(f(0,v) = \frac{1}{50}v^2 - 1\)，但由于初始错误，最终表达式不正确。
• 由于初始逻辑错误导致后续结果错误，扣4分。

题目总分：3+2=5分