评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

得分：4分

理由：

• 第1次识别中，学生正确使用了函数单调性和极限的性质，但错误地提到方程$\cos x - x = 1$的实根为$x=1$（应为$x=0$），这是一个逻辑错误，扣1分。
• 第2次识别中，学生修正了这一错误，正确地指出方程的唯一实根为$x=0$，并完成了证明。因此，第2次识别完全正确。

（2）得分及理由（满分5分）

得分：3分

理由：

• 学生正确地使用了拉格朗日中值定理，但在推导$\frac{a_{n}}{b_{n}}$的表达式时，逻辑不够严谨（例如$\frac{\sin \xi_{n}}{a_{n}}b_{n}}$的推导不清晰），且未完全匹配标准答案的等价无穷小替换方法，扣2分。
• 最终结论正确，但推导过程存在瑕疵，因此给予部分分数。

题目总分：4+3=7分