评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

得分：3分

理由：

• 学生正确计算了矩阵\(A\)的特征值和特征向量，这部分与标准答案一致，得2分。
• 在对角化过程中，学生虽然给出了对角矩阵和变换矩阵\(P\)，但\(P\)的构造和\(P^{-1}\)的计算存在明显错误（如\(P\)的第三行与标准答案不符），导致后续\(A^{99}\)的计算结果错误，扣1分。
• \(A^{99}\)的最终计算结果与标准答案不符，扣1分。

（2）得分及理由（满分6分）

得分：4分

理由：

• 学生正确推导了\(B^{100} = BA^{99}\)的关系，与标准答案一致，得2分。
• 在将\(\beta_1, \beta_2, \beta_3\)表示为\(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\)的线性组合时，学生的表达式与标准答案形式一致，但系数存在计算错误（如\(2^{PP}\)和\(2^{100}\)的混淆），扣1分。
• 由于\(A^{99}\)的计算错误导致\(\beta_i\)的表达式系数不完全正确，扣1分。

题目总分：3+4=7分