评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生正确计算了梯度 \( \text{grad}z|_{(3,4)} = (6a, 8b) \)，并根据方向导数最大的条件建立了正确的方程组：

\[ \frac{6a}{-3} = \frac{8b}{-4} \]

\[ \sqrt{(6a)^2 + (8b)^2} = 10 \]

解得 \( a = -1 \)，\( b = -1 \)。

逻辑和计算均正确，得5分。

（2）得分及理由（满分5分）

学生正确设定了曲面面积的计算公式：

\[ S = \iint_{\sum} \sqrt{1 + 4x^2 + 4y^2} \, dxdy \]

并正确转换为极坐标计算：

\[ S = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\sqrt{2}} \sqrt{1 + 4r^2} \cdot r \, dr \]

最终得到正确结果 \( \frac{13\pi}{3} \)。

逻辑和计算均正确，得5分。

题目总分：5+5=10分