评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是3，与标准答案一致。根据题目描述，矩阵\(A\)在给定基下的变换可以表示为：

\[A\boldsymbol{\alpha}_1 = 2\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2 + \boldsymbol{\alpha}_3 + \boldsymbol{\alpha}_4\]

\[A\boldsymbol{\alpha}_2 = \boldsymbol{\alpha}_1 + 2\boldsymbol{\alpha}_2 + \boldsymbol{\alpha}_3 + \boldsymbol{\alpha}_4\]

\[A\boldsymbol{\alpha}_3 = \boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2 + 2\boldsymbol{\alpha}_3 + \boldsymbol{\alpha}_4\]

\[A\boldsymbol{\alpha}_4 = \boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2 + \boldsymbol{\alpha}_3 + 2\boldsymbol{\alpha}_4\]

这表明矩阵\(A\)的特征值之一是5（因为\(A\boldsymbol{\alpha}_i\)的形式可以推导出特征值5），且对应的特征空间维数为1。因此，\(A - 5E\)的秩为\(4 - 1 = 3\)。

学生的答案正确，因此得5分。

题目总分：5分