评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

得分：10分

理由：学生正确应用了罗尔定理，构造了合适的辅助函数 \( F(x) = f(x)(2 - x) \)，并验证了 \( F(1) = F(2) = 0 \)，从而得出 \( F'(\xi) = 0 \) 并推导出 \( f(\xi) = (2 - \xi)e^{\xi^2} \)。逻辑严密，与标准答案法2一致。

（2）得分及理由（满分10分）

得分：10分

理由：学生正确应用了柯西中值定理，构造了 \( g(x) = \ln x \)，并正确推导出 \( \frac{f(2)}{\ln 2} = \frac{e^{\eta^2}}{\frac{1}{\eta}} \)，最终得到 \( f(2) = \ln 2 \cdot \eta e^{\eta^2} \)。逻辑正确，与标准答案一致。

题目总分：10+10=20分