评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案为 \((x-1/2)^2+y^2=0\)。该答案与标准答案 \((x-\frac{1}{2})^{2}+y^{2}=\frac{1}{4}\) 在形式上相似，但等号右侧的半径平方不同：学生答案为0，而标准答案为 \(\frac{1}{4}\)。曲率圆的半径应为曲率的倒数，对于曲线 \(y^2=x\) 在点 (0,0) 处，需计算曲率。首先，曲线可写为 \(x=y^2\)，但以 \(x\) 为自变量时，\(y=\pm\sqrt{x}\) 在 (0,0) 处导数不存在，因此需用参数化或隐函数求导法。实际上，点 (0,0) 是尖点，但题目要求曲率圆，应使用一般曲率公式。标准计算中，曲率半径 \(R=\frac{1}{K}\)，其中曲率 \(K=\frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}\)。对于 \(y^2=x\)，两边对 \(x\) 求导得 \(2yy'=1\)，即 \(y'=\frac{1}{2y}\)，在 (0,0) 处无定义。实际上，点 (0,0) 是奇点，但题目仍要求曲率圆，标准答案是通过适当处理（如考虑右导数或对称性）得到曲率半径为 \(\frac{1}{2}\)，因此圆方程为 \((x-\frac{1}{2})^2+y^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}\)。学生答案中半径为0，表示退化圆（一个点），这不符合曲率圆的定义（曲率圆应与曲线在该点具有相同的曲率和切线，且半径为非零）。因此，学生答案存在逻辑错误：半径计算错误，导致圆方程不正确。根据打分要求，逻辑错误需扣分。由于答案完全错误（半径错误），但圆心正确（\(\frac{1}{2},0\)），可视为部分正确，但本题为填空题，通常全对才给分。严格来说，答案错误，得0分。

题目总分：0分