评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答中两次识别结果均给出了最终正确答案 \(\frac{8}{3}\ln 3\)，但计算过程中存在逻辑错误和表述问题。

• 第一次识别：学生正确应用了轮换对称性（\(\iint_D x dxdy = \iint_D y dxdy\)）将原积分简化为 \(\iint_D dxdy\)，但后续变量替换和积分计算有误：
  • 令 \(\frac{y}{x} = h\)，但积分区域描述错误（应为 \(x\) 从 \(\frac{1}{\sqrt{3h}}\) 到 \(\sqrt{\frac{1}{h}}\)？），实际上下限应为曲线 \(xy=1/3\) 和 \(xy=3\) 所对应（标准答案采用极坐标更合理）。
  • 计算 \(\int_{1/3}^3 \int_{\frac{1}{\sqrt{h}}}^{\sqrt{h}} x dx dh\) 时，内积分结果应为 \(\frac{1}{2}(h - \frac{1}{h})\)，但学生写成了 \(\frac{1}{2}(\frac{h}{2} - \frac{1}{2h})\)，这是明显错误（系数错误）。
  • 后续积分 \(\frac{1}{2}\int_{1/3}^3 \frac{8}{3h} dh\) 缺乏推导（突然出现 \(\frac{8}{3h}\)），且计算跳跃（直接得到 \(4\int_{1/3}^3 \frac{1}{3h} dh\)），但最终结果正确。
• 第二次识别：同样有类似错误，如上下限出现 \(\sqrt{\pi}\)（明显误写，应为 \(\sqrt{1/(3k)}\) 和 \(\sqrt{3/k}\) 之类），但最终通过错误过程得到正确结果。
• 尽管过程有误，但最终答案正确，且核心思路（对称性简化）正确。根据评分规则，思路正确不扣分，但逻辑错误需扣分。主要逻辑错误包括：
  • 变量替换后积分上下限错误（未正确表达区域）。
  • 内积分计算错误（系数错误）。
  • 推导不严谨（跳跃步骤）。
  这些错误属于逻辑错误，应扣分。但考虑到最终答案正确，且误写（如第二次识别中 \(\sqrt{\pi}\) 应为 \(\sqrt{1/(3k)}\) 等）可能为识别问题，不额外扣分。
• 扣分：逻辑错误（积分上下限和计算错...