评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生第一问的解答使用了泰勒展开的方法，与标准答案的构造函数法不同，但思路正确且推导完整。具体地：

• 学生正确写出在0和1处的泰勒展开式：\(f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(\xi_1)}{2}x^2\) 和 \(f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(\xi_2)}{2}(x-1)^2\)。
• 利用已知条件 \(f'(0)=f'(1)\)，将两个展开式分别乘以 \((1-x)\) 和 \(x\) 后相加，得到 \(f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x = \frac{f''(\xi_1)}{2}x^2(1-x) + \frac{f''(\xi_2)}{2}(x-1)^2x\)。
• 取绝对值并利用 \(|f''(x)| \leq 1\)，得到 \(\left| f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x \right| \leq \frac{1}{2} \left| x^2(1-x) + (x-1)^2x \right| = \frac{x(1-x)}{2}\)。

此方法正确，且推导严谨，因此得满分6分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生第二问的解答基于第一问的不等式进行积分，思路正确，但存在一处逻辑错误：

• 在第一次识别结果中，学生写成了 \(f(x)-f(0)(1-x)-f(0)x\)（第二个 \(f(0)\) 应为 \(f(1)\)），但根据上下文和第二次识别结果，这显然是误写（识别错误），实际应为 \(f(1)\)，因此不扣分。
• 在第二次识别结果中，学生正确写出不等式：\(-\frac{x(1-x)}{2} \leq f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x \leq \frac{x(1-x)}{2}\)。
• 积分过程正确，计算了 \(\int_0^1 \frac{x(1-x)}{2} dx = \frac{1}{12}\) 以及 \(\int_0^1 (1-x) dx = \frac{1}{2}\) 和 \(\int_0^1 x dx = \frac{1}{2}\)，从而得到 \(\int_0^1 f(x) dx - \frac{f(0)+f(1)}{2}\) 的积分结果在 \([-\frac{1}{12}, \frac{1}{12}]...