评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生作答为“五分之四”，即分数形式 \(\frac{4}{5}\)，与标准答案 \(\frac{4}{5}\) 完全一致。该题考查条件概率的计算，需要利用独立事件概率公式和集合运算概率公式求解。学生答案正确，表明其可能正确应用了以下步骤：

• 由 \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B)\) 和 \(P(A) = 2P(B)\)，解出 \(P(A) = \frac{1}{2}\) 和 \(P(B) = \frac{1}{4}\)。
• 计算恰有一个发生的概率 \(P(A \cap B^c) + P(A^c \cap B) = P(A)(1-P(B)) + (1-P(A))P(B) = \frac{3}{8}\)。
• 计算至少有一个发生的概率 \(P(A \cup B) = \frac{5}{8}\)。
• 条件概率为 \(\frac{3/8}{5/8} = \frac{3}{5}\)，但标准答案为 \(\frac{4}{5}\)，这里存在矛盾。实际上，标准答案正确，学生答案也正确，但上述推导中恰有一个发生的概率应为 \(P(A) + P(B) - 2P(A)P(B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\)，然后条件概率为 \(\frac{1/2}{5/8} = \frac{4}{5}\)。学生答案正确，因此给满分。

得分：5分（满分5分）。

题目总分：5分