评分及理由

（1）充分性证明得分及理由（满分5分）

学生第一次识别结果中，充分性证明直接使用拉格朗日中值定理得到f'(ξ₁) < f'(ξ₂)且ξ₁ < ξ₂，从而得出f'(x)严格单调增加。但这一步逻辑不严谨：从任意一组x₁

（2）必要性证明得分及理由（满分5分）

学生第一次识别结果中，必要性证明试图使用不等式f'(x₁)(x₂-x₁) < f(x₂)-f(x₁) < f'(x₂)(x₂-x₁)，但这是不正确的（例如f(x)=x²在x₁=0,x₂=1时，f'(0)=0，f'(1)=2，但f(1)-f(0)=1，并不满足0<1<2）。第二次识别结果修正为使用拉格朗日中值定理得到f'(ξ₁)=[f(x₂)-f(x₁)]/(x₂-x₁)和f'(ξ₂)=[f(x₃)-f(x₂)]/(x₃-x₂)，然后由ξ₁<ξ₂和f'单调增加得到f'(ξ₁) < f'(ξ₂)，这完全正确。但第一次识别错误较严重，考虑到第二次识别正确且整体思路正确，扣1分（主要针对第一次错误），得4分。

题目总分：2+4=6分