评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生最终答案为 \( f(u) = \frac{1}{2}\ln^{2}u + 2 \)，而标准答案为 \( f(u) = \frac{1}{2}\ln^{2}u + 2\ln u + 1 \)。学生答案缺少 \( 2\ln u \) 项，且常数项错误（应为1而非2）。这表明学生在求解微分方程或积分过程中存在计算错误，导致最终表达式不正确。根据标准答案，正确结果应包含三项，学生仅有两项，且常数项不符。因此，本题不能给满分。

但考虑到学生可能正确推导了微分方程（如得到 \( u^2 f''(u) + u f'(u) = 1 \)）并进行了部分积分（如积分 \( \frac{\ln u}{u} \) 得到 \( \frac{1}{2}\ln^2 u \)），思路基本正确，但积分环节遗漏了 \( \frac{2}{u} \) 的积分项（应得 \( 2\ln u \)），且未利用初始条件 \( f(1)=1 \) 正确确定常数（学生常数2错误）。核心逻辑错误在于积分不完整和常数确定错误。

根据打分要求，逻辑错误需扣分。由于主要步骤（如变量代换、偏导计算、微分方程建立）可能正确，但最终计算错误，扣分应基于错误严重性。学生答案与标准答案偏差较大，但部分正确，给予部分分数。扣分点：积分遗漏项（-2分），常数错误（-2分）。

得分：10 - 2 - 2 = 6分。

题目总分：6分