评分及理由

（1）充分性证明得分及理由（满分5分）

学生充分性证明得分为0分。理由：学生试图使用拉格朗日中值定理，但逻辑存在严重错误。学生从已知不等式直接应用拉格朗日中值定理得到f'(ξ₁) < f'(ξ₂) 且 ξ₁ < ξ₂，然后直接得出结论f'(x)严格单调增加。然而，这仅表明存在两点ξ₁和ξ₂满足f'(ξ₁) < f'(ξ₂)，但无法证明对任意两点都有f'(x₁) < f'(x₂)（因为ξ₁和ξ₂是特定区间内的点，不是任意的）。标准答案中需要通过极限操作和多个点的选取来证明，学生的方法不严谨且关键步骤缺失。

（2）必要性证明得分及理由（满分5分）

学生必要性证明得分为3分。理由：学生正确使用了拉格朗日中值定理的思想（但未明确写出定理条件），并尝试利用f'(x)的单调性。然而，学生错误地使用了不等式f'(x₁)(x₂ - x₁) < f(x₂) - f(x₁) < f'(x₂)(x₂ - x₁)，这缺乏依据（实际上，中值定理给出的是等于f'(ξ)，而不是不等式链）。标准答案直接使用中值定理得到f'(ξ₁)和f'(ξ₂)并比较，而学生引入了f'(x₁)和f'(x₂)的不等式，这是不正确的。但学生最终结论正确，且核心思路（比较导数）与标准答案部分一致，因此给予部分分数。

题目总分：0+3=3分