评分及理由

（1）得分及理由（满分11分）

学生作答中，第一步对 \(f_{xy}''(x,y)=2(y+1)e^x\) 关于 y 积分得到 \(f_x'(x,y) = (y^2+2y)e^x + \varphi(x)\)，并利用条件 \(f_x'(x,0) = (x+1)e^x\) 确定 \(\varphi(x) = (x+1)e^x\)，这一步正确。第二步对 \(f_x'(x,y)\) 关于 x 积分，通过分部积分得到 \(f(x,y) = (y^2+2y)e^x + x e^x + C\)，并利用 \(f(0,y)=y^2+2y\) 确定 C=0，得到 \(f(x,y)=(y^2+2y+x)e^x\)，这一步也正确。第三步求极值，正确解出驻点 (0,-1)，并计算二阶偏导数，但在判别极值时，第一次识别结果中写的是 \(B^2 - AC < 0\)（应为 \(AC-B^2>0\)），但第二次识别结果中未完成极值判别（只计算了 \(B^2-AC\) 但未代入驻点判断），但根据整体过程，学生意图是判断极小值，且最终得到极小值 f(0,-1)=-1。主要步骤均正确，仅极值判别表述有瑕疵，但核心逻辑正确，且答案正确。扣1分（极值判别步骤不完整或表述有误）。

题目总分：10分