评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答整体思路正确，步骤完整，与标准答案一致。具体分析如下：

• 第一步：正确展开被积函数为 \(x^2 + xy\)，并利用积分区域关于x轴对称和xy关于y为奇函数的性质，得出 \(\iint_D xy \, dxdy = 0\)，从而化简为 \(\iint_D x^2 \, dxdy\)。此步骤正确，不扣分。
• 第二步：正确将二重积分化为二次积分 \(2 \int_0^1 dx \int_{x^2}^{\sqrt{2-x^2}} x^2 \, dy\)。积分限设置正确（x从0到1，y从x²到√(2-x²)），且考虑了对称性（乘以2）。此步骤正确，不扣分。
• 第三步：正确计算内层积分 \(\int_{x^2}^{\sqrt{2-x^2}} x^2 \, dy = x^2 (\sqrt{2-x^2} - x^2)\)，并分离出两项 \(2 \int_0^1 x^2 \sqrt{2-x^2} \, dx - 2 \int_0^1 x^4 \, dx\)。计算 \(2 \int_0^1 x^4 \, dx = \frac{2}{5}\) 正确。此步骤正确，不扣分。
• 第四步：换元法正确。令 \(x = \sqrt{2} \sin t\)，则 \(dx = \sqrt{2} \cos t \, dt\)，积分限变为t从0到π/4。代入后得到 \(2 \int_0^{\pi/4} 2 \sin^2 t \cdot \sqrt{2} \cos t \cdot \sqrt{2} \cos t \, dt = 4 \int_0^{\pi/4} \sin^2 t \cdot 2 \cos^2 t \, dt = 2 \int_0^{\pi/4} \sin^2 2t \, dt\)（利用 \(\sin 2t = 2 \sin t \cos t\)）。此步骤正确，不扣分。
• 第五步：正确计算 \(2 \int_0^{\pi/4} \sin^2 2t \, dt = 2 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4}\)（使用公式 \(\int \sin^2 u \, du = \frac{u}{2} - \frac{\sin 2u}{4} + C\)，在0到π/4上结果为π/8）。最终结果 \(\frac{\pi}{...