评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答在步骤一中正确展开被积函数并利用对称性化简为\(\iint_D x^2 dxdy\)，思路正确。步骤二正确设置积分限为\(2\int_0^1 dx \int_{x^2}^{\sqrt{2-x^2}} x^2 dy\)，与标准答案一致。步骤三正确计算内层积分得到\(2\int_0^1 x^2 (\sqrt{2-x^2} - x^2) dx\)，并分离出\(-\frac{2}{5}\)项。步骤四换元\(x = \sqrt{2} \sin t\)时，积分限和代入计算基本正确，但细节有误：标准答案为直接得到\(2\int_0^{\pi/4} 2\sin^2 t \cdot 2\cos^2 t dt\)（即\(8\int_0^{\pi/4} \sin^2 t \cos^2 t dt\)），而学生作答在换元后表达式为\(4\int_0^{\pi/4} \sin^2 t \cdot 2\cos^2 t dt\)（即\(8\int_0^{\pi/4} \sin^2 t \cos^2 t dt\)），但后续推导错误地使用了三角恒等式（误将\(\sin^2 t \cos^2 t\)拆为\(\frac{1-\cos(2t)}{2} \cdot (1+\cos(2t))\)，实际应为\(\frac{1}{4}\sin^2(2t)\)），导致步骤四后半部分和步骤五的计算出现逻辑错误。最终结果正确（\(\frac{\pi}{4} - \frac{2}{5}\)）可能是巧合或计算补偿所致。扣分：步骤四和五的三角恒等式使用错误（应扣2分），但结果正确且其他步骤无误，总体仅扣1分（因核心逻辑部分错误）。得分：9分。

题目总分：9分