评分及理由

（1）导数计算（满分2分）

学生正确计算了导数 \(f'(x) = -\sqrt{1+x^2} + 2x\sqrt{1+x^2} = \sqrt{1+x^2}(2x-1)\)，与标准答案一致。得2分。

（2）驻点与单调性分析（满分3分）

学生正确求解驻点 \(x=\frac{1}{2}\)，并分析了单调性：当 \(x<\frac{1}{2}\) 时 \(f'(x)<0\)（单调递减），当 \(x>\frac{1}{2}\) 时 \(f'(x)>0\)（单调递增）。与标准答案一致。得3分。

（3）最小值计算（满分3分）

学生计算了 \(f\left(\frac{1}{2}\right) = \int_{\frac{1}{2}}^{1} \sqrt{1+t^2} \, dt + \int_{1}^{\frac{1}{4}} \sqrt{1+t} \, dt\)，但第二次识别中写成了 \(\int_{1}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1+t} \, dt\)（应为 \(\int_{1}^{\frac{1}{4}} \sqrt{1+t} \, dt\)），这是识别错误导致的误写，不扣分。然而，学生未像标准答案那样进一步拆分为三个积分并比较大小，也未说明 \(f\left(\frac{1}{2}\right)<0\)。核心逻辑不完整，扣2分。得1分。

（4）极限行为与零点存在性（满分3分）

学生完全未讨论 \(\lim_{x \to -\infty} f(x)\) 和 \(\lim_{x \to +\infty} f(x)\)，因此无法得出零点个数的结论。该部分内容缺失，扣3分。得0分。

题目总分：2+3+1+0=6分