评分及理由

（1）建立微分方程及通解（满分2分）

学生正确建立了微分方程 \(\frac{dx}{dt} = -k(x - m)\) 并给出通解 \(x(t) = Ce^{-kt} + m\)，同时正确代入初始条件 \(x(0)=120\) 和 \(m=20\) 得到 \(C=100\)，因此得2分。

（2）求解比例常数 \(k\)（满分3分）

学生正确利用 \(t=\frac{1}{2}\)（小时）时 \(x=30\) 的条件，代入方程得到 \(30=100e^{-\frac{1}{2}k}+20\)，并正确解得 \(k=2\ln10\)。步骤完整且计算正确，因此得3分。

（3）求解还需冷却时间（满分5分）

学生正确设 \(x=21\) 并代入方程 \(21=100e^{-kt}+20\)，得到 \(e^{-kt}=\frac{1}{100}\)。代入 \(k=2\ln10\) 后，正确化简 \(e^{-2t\ln10}=10^{-2t}\) 并得到 \(10^{-2t}=10^{-2}\)，解得 \(t=1\)（小时）。最后正确将已冷却时间 \(\frac{1}{2}\) 小时（30分钟）与总时间1小时比较，得出还需冷却30分钟。逻辑和计算均正确，因此得5分。

题目总分：2+3+5=10分