评分及理由

（1）得分及理由（满分11分）

学生作答与标准答案完全一致，思路正确，计算无误。具体步骤包括：

• 正确对 \(f_{xy}''(x,y)=2(y+1)e^x\) 关于 \(y\) 积分得到 \(f_x'(x,y) = (y^2+2y)e^x + \varphi(x)\)，并利用条件 \(f_x'(x,0)=(x+1)e^x\) 确定 \(\varphi(x) = (x+1)e^x\)。
• 正确对 \(f_x'(x,y)\) 关于 \(x\) 积分得到 \(f(x,y) = (y^2+2y)e^x + xe^x + C\)，并利用条件 \(f(0,y)=y^2+2y\) 确定 \(C=0\)，从而得到 \(f(x,y) = (y^2+2y+x)e^x\)。
• 正确计算二阶偏导数 \(f_{xx}'' = (y^2+2y)e^x + 2e^x + xe^x\)，\(f_{xy}'' = 2(y+1)e^x\)，\(f_{yy}'' = 2e^x\)。
• 正确求解驻点：由 \(f_y' = (2y+2)e^x = 0\) 得 \(y=-1\)，代入 \(f_x' = (y^2+2y)e^x + (x+1)e^x = 0\) 得 \(x=0\)，驻点为 \((0,-1)\)。
• 正确计算 Hessian 矩阵在驻点处的值：\(A=1\)，\(B=0\)，\(C=2\)，且 \(B^2 - AC = -2 < 0\) 且 \(A>0\)，判断为极小值，极小值为 \(f(0,-1)=-1\)。

因此，该部分得满分11分。

题目总分：11分