评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答整体思路正确，但存在关键逻辑错误和计算错误。具体分析如下：

• 第一步：将原积分\(\iint_D x(x+y)dxdy\)展开为\(\iint_D x^2 dxdy\)是错误的，因为原积分包含\(x(x+y)=x^2+xy\)，而学生忽略了\(xy\)项。这是一个逻辑错误，导致后续计算全部偏离。应扣分。
• 第二步：化为二次积分时，区域D对称性使用错误。学生直接写成\(2\int_{0}^{1}dx\int_{x^2}^{\sqrt{2-x^2}}x^2dy\)，但原积分函数\(x^2\)关于x是偶函数，而区域D关于y轴对称（因为\(x^2+y^2\leq2\)和\(y\geq x^2\)均对称），但学生未验证被积函数和区域的对称性是否匹配。实际上，由于忽略了xy项（奇函数），对称性处理错误。这里进一步逻辑错误。
• 第三步：对y积分后得到\(2\int_{0}^{1}x^2(\sqrt{2-x^2}-x^2)dx\)，这一步计算正确（基于错误的前置步骤）。
• 第四步：换元\(x=\sqrt{2}\sin t\)时，学生写为\(2\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}2\sin^2 t\sqrt{2-2\sin^2 t}dt\)，但漏了\(\sqrt{2}\cos t dt\)（即dx的转换），且表达式混乱。标准答案中应为\(2\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}2\sin^2 t \cdot \sqrt{2}\cos t \cdot \sqrt{2}\cos t dt\)，学生识别结果有误（可能误写），但后续化简为\(2\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sin^2 2t dt\)正确（基于错误前置）。
• 第五步：计算\(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sin^2 2t dt=\frac{\pi}{8}\)正确，最终结果\(\frac{\pi}{4}-\frac{2}{5}\)正确，但基于错误前提。

由于核心逻辑错误（忽略xy项和对称性误用）导致整个解答错误，但最终答案巧合正确。根据打分要求，逻辑错误需扣分。但学生详细展示了过程，且计算部分正确，给予部分分数。

扣分：忽略xy项（-3分），对称性误用（-2分），换元表达式不严谨（-1分，但可能为误写不扣），其他...