评分及理由

（1）导数计算（满分2分）

学生正确计算了导数：\(f'(x) = -\sqrt{1+x^2} + 2x\sqrt{1+x^2} = \sqrt{1+x^2}(2x-1)\)。此部分完全正确，得2分。

（2）驻点与单调性分析（满分3分）

学生正确求解了驻点（\(x=\frac{1}{2}\)），并正确分析了单调性（\(x<\frac{1}{2}\)时递减，\(x>\frac{1}{2}\)时递增）。此部分完全正确，得3分。

（3）最小值点函数值计算（满分3分）

学生计算了\(f(\frac{1}{2})\)，但在第二次识别中写成了\(f(\frac{1}{2}) = \int_{\frac{1}{2}}^{1} \sqrt{1+t^2} dt - \int_{\frac{1}{2}}^{1} \sqrt{1+t} dt\)，漏掉了\(-\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1+t} dt\)项（第一次识别中有此项）。这是一个逻辑错误，因为正确表达式应为\(f(\frac{1}{2}) = \int_{\frac{1}{2}}^{1} \sqrt{1+t^2} dt - \int_{\frac{1}{4}}^{1} \sqrt{1+t} dt = \int_{\frac{1}{2}}^{1} \sqrt{1+t^2} dt - \int_{\frac{1}{2}}^{1} \sqrt{1+t} dt - \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1+t} dt\)。漏掉项导致后续符号判断不完整，但学生未进行符号判断（标准答案中需说明\(f(\frac{1}{2})<0\)），此处扣2分（计算错误扣1分，未判断符号扣1分）。得1分。

（4）极限行为与零点存在性（满分3分）

学生未计算\(\lim_{x \to -\infty} f(x)\)和\(\lim_{x \to +\infty} f(x)\)，也未利用零点定理证明零点存在性。此部分完全缺失，扣3分。得0分。

题目总分：2+3+1+0=6分