评分及理由

（1）导数计算（满分2分）

学生正确计算了导数 \(f'(x) = -\sqrt{1+x^2} + 2x\sqrt{1+x^2} = \sqrt{1+x^2}(2x-1)\)，与标准答案一致。得2分。

（2）驻点与单调性分析（满分3分）

学生正确求解驻点 \(x=\frac{1}{2}\)，并分析了单调性：当 \(x < \frac{1}{2}\) 时 \(f'(x) < 0\)（单调递减），当 \(x > \frac{1}{2}\) 时 \(f'(x) > 0\)（单调递增），与标准答案一致。得3分。

（3）最小值计算（满分3分）

学生计算了 \(f\left(\frac{1}{2}\right) = \int_{\frac{1}{2}}^{1} \sqrt{1+t^2} \, dt + \int_{1}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1+t} \, dt = \int_{\frac{1}{2}}^{1} \sqrt{1+t^2} \, dt - \int_{\frac{1}{2}}^{1} \sqrt{1+t} \, dt\)。但标准答案中还需要减去 \(\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1+t} \, dt\)，学生遗漏了这部分，导致表达式不完整。这是一个逻辑错误，因为积分上限 \(\frac{1}{4}\) 来自 \(x^2\) 当 \(x=\frac{1}{2}\) 时的值。扣1分。得2分。

（4）极限行为与零点个数结论（满分3分）

学生未计算极限 \(\lim_{x \to -\infty} f(x)\) 和 \(\lim_{x \to +\infty} f(x)\)，也未给出零点个数的结论（标准答案中需通过极限值和最小值负性证明有两个零点）。这是一个严重的逻辑缺失，导致无法完成题目要求。扣3分。得0分。

题目总分：2+3+2+0=7分