评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答正确建立了微分方程模型：\(\frac{dx}{dt} = -k(x-m)\)，并正确求解得到通解 \(x(t) = Ce^{-kt} + m\)。代入初始条件 \(x(0)=120\) 和 \(m=20\)，得到 \(C=100\)，即 \(x(t) = 100e^{-kt} + 20\)。利用 \(t=0.5\) 小时（30分钟）时 \(x=30\)，正确解出 \(k=2\ln10\)。在求温度降至21℃所需时间时，方程 \(21=100e^{-kt}+20\) 解得 \(e^{-kt}=0.01\)，即 \(t=1\) 小时（60分钟），因此还需冷却 \(60-30=30\) 分钟。虽然学生写出的表达式 \(21=\frac{1}{100^{t-1}}+20\) 存在笔误（应为 \(21=100e^{-kt}+20\)），但根据上下文（前文正确使用指数形式）可判断为识别错误或书写疏忽，且最终数值计算正确，因此不扣分。整体思路、计算和答案均正确。

题目总分：10分