评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生答案：负π分之4（即-4/π）。

标准答案：-1/π。

分析：本题要求将函数f(x)=x+1在[0,π]上展开为余弦级数（傅里叶余弦级数），并求极限lim n→∞ n² sin(a_{2n-1})。首先需要计算傅里叶系数a_n。对于余弦级数，a_n = (2/π) ∫₀^π f(x) cos(nx) dx。计算a_{2n-1} = (2/π) ∫₀^π (x+1) cos((2n-1)x) dx。通过分部积分可得a_{2n-1} = -4/(π(2n-1)²) + 其他项（但常数项在积分中对cos((2n-1)x)的贡献为0）。实际上，精确计算得a_{2n-1} = -4/(π(2n-1)²)。因此sin(a_{2n-1}) ~ a_{2n-1}（当n→∞时a_{2n-1}→0），故n² sin(a_{2n-1}) ~ n² * [-4/(π(2n-1)²)] ~ -4/(π) * [n²/(4n²)] = -1/π。学生答案为-4/π，错误。可能误将系数直接作为极限（未考虑n²因子与分母(2n-1)²的抵消），或计算a_n时出错。

扣分：答案错误，且计算过程存在逻辑错误（未正确得到极限值）。

得分：0分（满分5分）。

题目总分：0分